三角関数の積分について

質問

∫1/(sinx)^3dx

これを置換せずに積分することは可能でしょうか？
似た形で、例えばチャートには

∫1/sinxdx

これを置換積分を利用して解いていましたが、実際分母分子にsinxをかけた後分母の1-(cosx)^2を部分分数分解すると分かれた二項がともにf'(x)/f(x)の形になり、きれいに

[1/2log(1-cosx)/(1+cosx)]

とすることが出来ました。同様にして３乗でも出来ると思ったのですが途中で詰まってしまいます。３乗になるとまた話が別なのでしょうか？アドバイスお願いします！

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

1/(1-t^2)^2={1/(1-t)^2+1/(1-t)+1/(1+t)^2+1/(1+t)}/4

を利用してください。

∫f(g(x))g´(x)dx=F(g(x))　(Fはfの原始関数の１つ)

を使えば,(形式的には)、積分を使わずに積分できそうですね。

お礼

部分分数展開の仕方をまったく理解していませんでした！
ありがとうございます！

回答No.2

nabla

f'(x)/f(x)形の積分は公式として覚えておられるのかも知れませんが、これだって本来は置換積分を使って求めるべきものですよ。

お礼

もちろんそれを承知しての事です。実際f'(x)/f(x)を使う際にいちいち置換積分を使った証明はしませんしね。質問文が曖昧であったことをお詫びします。

回答No.1

kony0

同じ手法で出来ると思いますよ。
途中出てくる∫dy/(1-y^2)^2は、部分分数展開すればOKでしょう。

補足

すみません！どこから詰まるのかをしっかり書いておくべきでした...

∫sinx/(1-cos^2x)^2

これをどのように部分分数展開すればいよいのでしょうか？