勾配とシュワルツの不等式

質問

写真の命題の証明
(D_uf)(x) = (grad f(x))|u)とシュワルツの不等式により
(D_uf)(x) = (grad f(x))|u)
≦ |grad f(x)|・|u| = |grad f(x)|

等号が成立するのは, grad f(x)=cu (c≧0)となるとき, すなわちgrad f(x)がuと同じ向きになるときに限る.

とあったのですが、

(grad f(x))|u)=||grad f(x)||・||u||
⇔grad f(x)とuが線型従属になる
⇔r・grad f(x)=u, またはgrad f(x)=ruとなる実数rが存在する

より
「等号が成立するのは, grad f(x)=cu (c≧0)となるとき, すなわちgrad f(x)がuと同じ向きになるときに限る」
ではなく
「等号が成立するのは, c・grad f(x)=u, またはgrad f(x)=cuとなる実数cが存在するときに限る」
ではないでしょうか？

回答No.1

jcpmutura

(grad f(x)|u)=||grad f(x)||・||u||
→grad f(x)とuが線型従属になる
は成り立つけれど

grad f(x)とuが線型従属になるからといって
(grad f(x)|u)=||grad f(x)||・||u||
となるとは限りません

例えば
grad f(x)=-u≠0
とすると
grad f(x)とuが線型従属だけれども

(grad f(x)|u)=(-u|u)=-||u||^2≠||u||^2=||grad f(x)||・||u||
(grad f(x)|u)≠||grad f(x)||・||u||
左辺は負,右辺は正で
等号は成立しません

お礼

そうでした。勘違いしてました。