コーシーシュワルツの不等式

質問

文字は全て実数
√(a^2+b^2+c^2)*√(x^2+y^2+z^2)≧|ax+by+cz|
を利用して

10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2
を証明せよ。という問題です。
調べてみると上記のシュワルツの不等式を利用するようなのですが
うまい変形が思いつきませんでした。
ご教授お願いいたします。

回答No.2

atushi256 · ベストアンサー

一般に、実数の範囲では、√(S^2) = |S|ですから、
10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2 の√をとれば、
√(2a^2+3b^2+5c^2)*√(10)≧|2a+3b+5c|

A = (√2)a
B = (√3)b
C = (√5)c
X = √2
Y = √3
Z = √5
とすれば、

√(A^2+B^2+C^2)*√(X^2+Y^2+Z^2)≧|XA+YB+ZC|
あとはもう、明らかですね。

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この方法は、発見法的でスマートではありませんが・・・。

お礼

実にわかりやすい解答ありがとうございました。
おかげでもやもやが解消されました。

回答No.1

kabaokaba

2a^2 = ( 2^{1/2} a)^2
3b^2 = ( 3^{1/2} b)^2
5c^2 = ( 5^{1/2} c)^2
とおくだけ．