重積分の等式を示す問題です。

質問

C^1-級の関数f(x) に対して、領域Dを D={(x,y)∈R^2 | x≧0, y≧0, y≦x, y≦-x+1}と定めて、

∬_D f'((x+y)^2) dxdy = 1/4 (f(1)-f(0)) が成立することを示して下さい。

出典は筑波大学大学院 入試問題です。よろしくお願いします。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

ANo.1です・・!
スミマセン・・!
誤記があるので書き直します。

u = x＋y
v = x－y
・・・と変数変換すると
x = (1/2)・(u＋v)
y = (1/2)・(u－v)
領域D D={(x,y)| x≧0, y≧0, y≦x, y≦-x+1}
は 領域D' D'={(u,v) | 0≦u≦1 , 0≦v≦u}に変換される・・!

ヤコビアン|∂(x,y)/∂(u,v)| = 1/2 , dxdy = (1/2)・dudv
f'((x+y)^2) = f'(u^2)

∴∬_D{ f'((x+y)^2)}dxdy
= ∬_D'{f'(u^2)}|∂(x,y)/∂(u,v)|dudv
= (1/2)・∫[0→1]du∫[0→u]{ f'(u^2)}dv
= (1/2)・∫[0→1]{u・f'(u^2)}du
= (1/4)・[ｆ(u^2)]u=0→1
= (1/4)・(ｆ(1)－ｆ(0))

回答No.1

Ae610

x = (1/2)・(u＋v)
y = (1/2)・(u－v)

・・・と変数変換すると領域D D={(x,y)∈R^2 | x≧0, y≧0, y≦x, y≦-x+1}
は 領域D'{0≦u≦1 , 0≦v≦u}に変換される・・!

ヤコビアン|∂(x,y)/∂(u,v)| = 1/2
f'((x+y)^2) = f'(u^2)

∴∬_D{ f'((x+y)^2)}dxdy
= ∬_D'{f'(u^2)}|∂(x,y)/∂(u,v)|dudv
= (1/2)・∫[0→1]du∫[0→u]{ f'(u^2)}dv
= (1/2)・∫[0→1]{u・f'(u^2)}du
= (1/4)・[ｆ(u^2)]x=0→1
= (1/4)・(f(1)－ｆ(0))