絶対値のついた不等式

質問

テストに出た問題に

実数aに対し，
|x|<a　⇔　-a<x<a

を使い解答したところ答えはあっているのですが、
「それはa>0のときだけ」と言われ部分点すらもらえませんでした。
たしかにaが負だと不等号の向きが変わると思うのですが、これがどんな問題に使っても答えが合うのです。

実際のところどうなのでしょうか。（a<0のときも使えるのでしょうか）

回答No.9

maiuumaiuu · ベストアンサー

不等式　-x^2+5x+2>2|x-1|　は確かに
x^2-5x-2<2x-2<-x^2+5x+2　と同値です.
そして後者の不等式は x^2-5x-2<-x^2+5x+2 すなわち
(移項して2で割ることにより) 0<-x^2+5x+2 を含んでいます．-x^2+5x+2 は質問に現れるaに他なりません．ですから「それはa>0のときだけ」というのは批判になっていないわけです．

お礼

なるほど、大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.8

shkwta

横軸にx, 縦軸にaをとってグラフを描くと、

|x|＜a
-a＜x＜a
この２つは同じ領域です。

つまり、aの正負に関係なく
|x|＜a ⇔ -a＜x＜a
は真です。

同値とは、両辺の命題が同時に真となる、または同時に偽となることを意味します。
aが負のときは、両辺が同時に偽になります。

ということで、aとxが実数ならば、|x|＜a ⇔ -a＜x＜a　はaの正負を確認せずに、どんな問題にもそのまま使えます。

a＞0でないときは|x|＜a ⇔ -a＜x＜aが成立しない、というのは採点者の勘違いと思います。P⇒Q や P⇔Q　で「命題Pが偽のとき」というのはなかなかイメージしにくいときがあるので、ついうっかりしたのでしょう。

お礼

ありがとうございます。
どうやら成り立つようですね。
|x|>a　⇔　x<-a または a<x
も同じように真なのでしょう。

回答No.7

maiuumaiuu

「テストに出た問題」を一切省略せず，全文を書き込むのがいいと思います．

「どんな問題に使っても答えが合うのです」とのことですが，それらの問題も書き込むといいでしょう．
現状では話がかみ合っているのかどうか，心配です．

補足

『不等式　-x^2+5x+2>2|x-1|　を解け。』　です。
xが実数という条件は特に書かれていませんでした。
ちなみに、これを　x^2-5x-2<2x-2<-x^2+5x+2　としました。
x^2-5x-2<-x^2+5x+2なのか？と疑問に思いましたがそのまま解いて0<x<4となりました。
模範解答のほうは場合分けをして結局同じ0<x<4です。

回答No.6

ritumushi

補足します。a<0は、もちろん,a=0のときも正しい。従って使える。使い方に問題があったのではないでしょうか。

お礼

たしかに、何も断らずにいきなり使ったのはまずかったかもしれませんね（＾＾；）

回答No.5

ritumushi

正しいと思います。なぜなら、a<0のとき、条件｜ｘ｜＜aを満たす実数は存在しない。また、条件-a<x<aを満たす実数xは存在しないので二つの条件同値だと思います。

回答No.4

kansai_daisuki

すみません。
以下は間違えました。

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼
以上より、成り立つのは、
-a<x<a　　　　⇒　|x|<a
-a<x<a , a>0　⇒　|x|<a
|x|<a　　　　 ⇒　-a<x<a , a>0
であり、
|x|<a　　　　 ⇒　-a<x<a
は成り立ちません。
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

以下が正しい内容です。

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼
以上より、成り立つのは、
-a<x<a , a>0　⇒　|x|<a
|x|<a　　　　 ⇒　-a<x<a , a>0
|x|<a　　　　 ⇒　-a<x<a
であり、
-a<x<a　　　　⇒　|x|<a
は成り立ちません。
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

お礼

いつも回答ありがとうございます。
-a<x<a　⇒　|x|<a
は成り立たないのですか・・・。

回答No.3

kansai_daisuki

>|x|<a　⇔　-a<x<a
>を使い解答したところ答えはあっているのですが、
>「それはa>0のときだけ」と言われ部分点すらもらえませんでした。

誰もが知ってるように、|x|≧0です。
ならば、0≦|x|<a　⇔　0<a

だから、|x|<aを出した時点で、0<aは自明ですよね。
よって、|x|<a　⇒　-a<x<a　です。

次に、-a<x<a　ならば、
1:a>0のとき、-a<x<a　⇒　-a<x,x<a　⇒　|x|<a
2:a=0のとき、-a<x<a　⇒　0<x,x<0　⇒　解なし。
3:a<0のとき、a<-aより　-a<x<a　自体が成り立たない。

よって、-a<x<a　⇒　|x|<a　は成り立たない。
　-a<x<a , a>0　⇒　|x|<a　は成り立つ。

以上より、成り立つのは、
-a<x<a　　　　⇒　|x|<a
-a<x<a , a>0　⇒　|x|<a
|x|<a　　　　 ⇒　-a<x<a , a>0
であり、
|x|<a　　　　 ⇒　-a<x<a
は成り立ちません。

だから、質問者さんは、
|x|<a　⇒　-a<x<a　　　　と書くか、
|x|<a　⇔　-a<x<a , a>0　と書くしか、
正解にしてくれません。
|x|<a　⇔　-a<x<a
は、正解には出来ませんよ。間違ってるし。
部分点ぐらいなら上げてもいいですが、
その採点者の判断基準ですから、なんとも言えません。

　ここで、
Ａ⇒Ｂは、Ｂ∋Ａ、よってＡ＝Ｂとは限りません。
Ａ⇔Ｂは、Ｂ∋ＡかつＡ∋Ｂ、即ちＡ＝Ｂです。

　数学の証明では、少なくとも大学受験まではＡ⇒Ｂを示すだけでは不正解、良くても部分点にしかならないと思っておいた方が良いです。
Ａ⇔Ｂを示せば、正解になります。

　私の経験上は、学校のテストでも模試でも、この採点基準に例外はなかったという記憶があります。

回答No.2

postro

そもそも　０≦|x|　だから　aが負のとき
|x|<a　はありえませんよね。
＞これがどんな問題に使っても答えが合うのです。
↑たとえばどんな場合か書いていただけるとうれしいです。

お礼

aが負のときは成り立つはずがないのですか、気づいていませんでした。
問題は後ほど具体的に書きますね。

回答No.1

yuki-l

|x|<a　の両辺を二乗してみればわかるとおもいます。

お礼

二乗するとaの符号によって不等号の向きが変わりますよね。