コーシー・シュワルツの不等式の使い方で分からない点があるのでお尋ねしま

質問

コーシー・シュワルツの不等式の使い方で分からない点があるのでお尋ねします。
「0以上の実数s,tが　s^2 + t^2 =1を満たしながら動くとき、
x=(√s ± √t)^2　のとる値の範囲を求めよ」という問題があったとします。

解法として
コーシー・シュワルツの不等式を使って、(√s + √t)^2＝(1・√s + 1・√t)^2 ≦
(1^2 + 1^2)( s + t )＝２( s + t )
再度コーシー・シュワルツの不等式より、
( s + t )^2≦(1^2 + 1^2)(s^2 + t^2)＝２　（ s^2 + t^2=１より）
?　( s + t )≦√２
従って、(√s + √t)^2 の最大値は２√２．最小値は(解き方省略で)１
次に、(√s - √t)^2　の最大値は、０≦ s,t ≦１より、ｓ＝１,ｔ＝０またはｓ＝０,ｔ＝１のときで１．　最小値は s＝t＝1/√2 のときで０(細かいことは省略)

ここで疑問なのですが、(√s - √t)^2 に、(全ての実数で成立する)コーシー・シュワルツの不等式を適用して、
(√s - √t)^2＝{1・√s +(-1)・√t}^2 ≦{1^2 + (-1)^2}( s + t )＝２( s + t )　としても
最大値を導けないのは何故なんでしょう？
つまらない質問で恐縮ですが、ご教授をよろしくお願いいたします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

-2√s√t≦0 だから
(√s-√t)^2=s-2√s√t+t≦s+t≦2(s+t)
となる
s+t=2(s+t) と仮定すると　s+t=0,0≦s=-t≦0,s=t=0,0=s^2+t^2=1　となって矛盾するから
s+t<2(s+t)
(√s-√t)^2≦s+t<2(s+t)
だから
(√s-√t)^2=2(s+t)　となる　s,t は存在しないから
2(s+t)から最大値を導けない。

お礼

回答をありがとうございます。

等号の付いた絶対不等式は、等号が成り立つ場合のみ絶対不等式は成立して最大値（または最小値）を求めることができる。従って、等号が成り立つことの判別が非常に重要。
と、解釈いたします。
ご教授を、ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

コーシー・シュワルツの不等式は、
２つのベクトル a, b と、その成す角 θ について、
内積 a・b = ｜a｜｜b｜cosθ,
-1 ≦ cosθ ≦ 1 という内容です。

質問の問題では、ベクトル (√s,√t) の成分が
√ によって正の数に制限されているため、
θ が自由な値をとることはできないのです。

お礼

回答を、ありがとうございます。

(√s+√t)^2でコーシー・シュワルツの不等式で最大値が求めれるのに、どうして(√s-√t)^2で不等式が使えないのかが疑問でした。

補足

ベクトル(√s,√t)は第一象限に限定されていて、ベクトル(1,1)は同じく第一象限にあるので重なることができる（最大値をとる）。
しかし、ベクトル(1,-1)は第四象限にあるので第一象限に限定されているベクトル(√s,√t)と重なることができない（最大値が無い）。
図形的解釈だとこんな感じでしょうか。