行間を丁寧に埋めてください

質問

■ 原点をOとするxy平面上で、第１象限にある点(a,b)を通る
傾きが負の直線とx軸,y軸との交点をA,Bとする。
△OABの周の長さの最小値はいくらか。
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　　　　　　　　　　　====　少女　A の　御母堂様　曰く ====；

　　　　ラグランジュの未定乗数法（method of Lagrange multiplier）も　良いが...

　●「 m(T)=(-2 a T + b T^2 - b)/((T - 1) T)　なる　

　 　　　　　　　　T の有理函数の最小値を求める問題

　 [[微分學による　此れは 2行で瞬時に解けてしまい　容易過ぎます]] に帰着する 」

　(a,b)=(7,3) のとき　けた桁嗤われれもイイ　と　69桁表示された;
　T= 0.316430972582532748269633403280726968882291300641667868155577672528147
　32.9614813968157204619319348721759933154104086141166930994227087956192

　 2017 8/4 毎日川柳; 行間の思い気付かぬ男たち 北九州 お鶴

　 ■伏してお願い; 核心部を　「御母堂」様　が　云われましたが　有理函数 前後の細部を　行間埋子になり　
　　　　　世界の　悉皆の【老若男女】(誰も) が了解されるように　必ず　　埋めて下さい■　;
　　　　　 [上手に頼みごとをするための定番フレーズ]

回答No.1

jcpmutura

点(a,b)を通る
傾きが-G=tant<0,(0<t<π/2)
の直線は
y=b-G(x-a)
だからこの直線とx軸,y軸との交点をA,Bとすると
A=(a+b/G,0)
B=(0,aG+b)
だから
△OABの周の長さをf(t)
とすると

f(t)
=aG+b+a+b/G+√{(aG+b)^2+(a+b/G^2}
=aG+b+(aG+b)/G+√{(aG+b)^2+(aG+b)^2/G^2}
=(aG+b){1+1/G+√(1+1/G^2)}
=(atant+b)(1+1/tant+1/sint)
=a(tant+1+1/cost)+b(1+1/tant+1/sint)
=a{1+(1+sint)/cost}+b{1+(1+cost)/sint}

T=tan(t/2)
m(T)=m(tan(t/2))=f(t)
とすると

T^2
={sin(t/2)}^2/{cos(t/2)}^2
=(1-cost)/(1+cost)

(1+cost)T^2=1-cost
(1+T^2)cost=1-T^2
cost=(1-T^2)/(1+T^2)

sint
=√{1-(cost)^2}
=√{1-(1-T^2)^2/(1+T^2)^2}
=[√{(1+T^2)^2-(1-T^2)^2}]/(1+T^2)
=2T/(1+T^2)

1+sint=1+2T/(1+T^2)=(1+T)^2/(1+T^2)
(1+sint)/cost=(1+T)^2/(1-T^2)=(1+T)/(1-T)

1+cost=1+(1-T^2)/(1+T^2)=2/(1+T^2)
(1+cost)/sint=1/T

m(T)
=m(tan(t/2))
=f(t)
=a{1+(1+sint)/cost}+b{1+(1+cost)/sint}
=a{1+(1+T)/(1-T)}+b{1+(1/T)}
=2a/(1-T)+b(T+1)/T
=(2aT+b-bT^2)/{(1-T)T}
=(-2aT+bT^2-b)/{(T-1)T}

0<t<π/2
0<t/2<π/4
T=tan(t/2)
だから

0<T<1

m(T)=(-2aT+bT^2-b)/{(T-1)T}

の最小値を求めればよい

↓微分すると

m'(T)
=(2bT-2a)/{(T-1)T}-(bT^2-2aT-b)/{T(T-1)^2}-(bT^2-2aT-b)/{(T-1)T^2}
=2(bT-a)/{(T-1)T}-(bT^2-2aT-b){1/(T-1)+1/T}/{(T-1)T}
=2(bT-a)/{(T-1)T}-(bT^2-2aT-b)(2T-1)/{(T-1)^2T^2}
={2(bT-a)(T-1)T-(bT^2-2aT-b)(2T-1)}/{(T-1)^2T^2}
={(2a-b)T^2+2bT-b}/{(T-1)^2T^2}
={(2a-b)T+b+√(2ab)}[T-b/{b+√(2ab)}]/{(T-1)^2T^2}

0<T<b/{b+√(2ab)}の時m'(T)<0だからm(T)は減少
b/{b+√(2ab)}<T<1の時m'(T)>0だからm(T)は増加

T=b/{b+√(2ab)}の時m(T)は最小

T=√b/{√b+√(2a)}
bT=b√b/{√b+√(2a)}

bT-2a
=[b√b-2a{√b+√(2a)}]/{√b+√(2a)}
={b√b-2a√b-2a√(2a)}/{√b+√(2a)}

T(bT-2a)-b
=[√b{b√b-2a√b-2a√(2a)}-b{{√b+√(2a)}^2}^2]/{√b+√(2a)}^2
=[b^2-2ab-2a√(2ab)-b{b+2a+2√(2ab)}]/{√b+√(2a)}^2
=-2√(2ab){√(2ab)+(a+b)}/{√b+√(2a)}^2

(T-1)T=-√(2ab)/{√b+√(2a)}^2

m(T)
=bT^2-2aT-b
=2{√(2ab)+(a+b)}
=2a+2b+2√(2ab)

∴△OABの周の長さの最小値は

2a+2b+2√(2ab)