制約条件のもとで 極値 を 常套手段で

質問

■ 原点をOとするxy平面上で、第１象限にある点(a,b)を通る
傾きが負の直線とx軸,y軸との交点をA,Bとする。
△OABの周の長さの最小値はいくらか。
これを　ラグランジュの未定乗数法（method of Lagrange multiplier）で解いて下さい；
(途中経過をも記して下さい)

回答No.1

info222_

>■ 原点をOとするxy平面上で、第１象限にある点(a,b)を通る
傾きが負の直線とx軸,y軸との交点をA,Bとする。

A(c,0), B(0,d) (c>0, d>0)
点(a,b)を通る傾きが負の直線:
x/c+y/d=1 (c>0, d>0,)
第１象限にあり, 点(a,b)を通る条件:
a/c+b/d=1
0<a<c, 0<b<d
△OABの周の長さL:
L=c+d+sqrt(c^2+d^2)=f(c, d)
( 0<a<c, 0<b<d )
制約条件: a/c+b/d=1 ⇔ g(c,d)=ad+bc-cd=0
ラグランジュの未定乗数法:
F(c, d, t)=f(c,d) -t g(c,d)=c+d+sqrt(c^2+d^2) -t (ad+bc-cd)
g(c,d)=ad+bc-cd=0
c>a>0, d>b>0
これで準備完了です。
あとはラグランジュの未定乗数法の手順に従ってひたすら計算するだけでいい。
ネットを検索すればたくさん見つかりますよ。

条件を満たす停留点(c,d)の求め方:
∂F/∂c=∂F/∂d=g(c,d)=0 (c>a, d>b)
を解いて
c=(sqrt(2·a·b)·(b-a)-2·a^2)/(b-2·a) (>a),
d=bc/(c-a) (>b)
=b(b^2 -ab(a+2)+a(b-a)*sqrt(2a*b))/(b^2 -2ab(a^2+a+1)+a^4)

min f(c,d)=c+d+sqrt(c^2+d^2)
=sqrt(b^2*(b^2+sqrt(2a*b)*a(b-a)-(a+2)*ab)^2/(b^2-2(a^2+a+1)*ab+a^4)^2
+(b^2+(sqrt(2ab)-a-2)*ab-sqrt(2ab)*a^2)^2/((sqrt(2ab)+2*a^2+a)*b-sqrt(2ab)*a-a^3)^2)
+(b^2+sqrt(2a*b)*a(b-a)-(a+2)*ab)b/(b^2+(-2*a^3-2*a^2-2*a)*b+a^4)
+(b^2+(sqrt(2ab)-a-2)*ab-sqrt(2ab)*a^2)/((sqrt(2ab)+2*a^2+a)*b-sqrt(2ab)*a-a^3)

[注] 合っているかどうか保証の限りではない。自身で計算して答え合わせしてみて下さい。

参考URL：

http://mathtrain.jp/mlm