最小二乗法

質問

円x^2＋y^2=1上の点Ｐにおけるこの円の接線とｘ軸、ｙ軸との交点をそれぞれA,Bとして、
Ｐが第一象限を動くとき、線分ＡＢの長さLを求めよ。
なお、Lの最小値の存在理由も述べよ。
というもんだいなのですが、

線分ABはy=txとなるので、このtを最小二乗法でもとめるんだと思うのですが、
最小二乗法の理論値、実測値などが、まだ良くわかりません。
と言いますか、傾きが最小ならLは最小で合ってますでしょうか？
傾きが45°のときが怪しくなってきたのですが・・・
また、最小値の存在理由ってどうやったら説明できるのですか？

よかったら、教えてください。

回答No.1

BLUEPIXY · ベストアンサー

点Ｐの座標を（Ｘｐ，Ｙｐ）とすると
直線Ｌの傾きとＹｐ／Ｘｐが直交するから
Ｌの傾きは－Ｘｐ／Ｙｐ
点Ｐ（Ｘｐ，Ｙｐ）を通る傾き－Ｘｐ／Ｙｐの直線Ｌは、
（ｙ－Ｙｐ）＝－Ｘｐ／Ｙｐ（ｘ－Ｘｐ）
ｘ＝０の時ｙ＝１／Ｙｐ
ｙ＝０の時ｘ＝１／Ｘｐ
より
点Ａ（Ｘａ＝１／Ｘｐ，０）
点Ｂ（０，Ｙｂ＝１／Ｙｐ）
線分ＡＢの長さは√（Ｘａ＾２＋Ｙｂ＾２）
√（１／Ｘｐ）＾２＋（１／Ｙｐ）＾２
＝１／（ＸｐＹｐ）
よって
Ｌ＝１／ＸｐＹｐ
Ｙｐ＝√（１－Ｘｐ）＾２
から
Ｌ＝１／√（Ｘｐ＾２－Ｘｐ＾４）
Ｌが最小になるためには、（Ｘｐ＾２－Ｘｐ＾４）が最大になるＸｐを求めれば良いから
求めると
Ｘｐ＝１／√２
これは、傾きが１３５°（４５°）の時である。

最小値の存在理由：
Ｘｐ＝０の時Ｌは無限大になり
Ｘｐ＝１の時Ｌは無限大になるが
その間の時には、有限の値になるから最小の値が存在する

お礼

ありがとうございました。
スッゴク判りやすかったです。

回答No.3

ysk888

＞＞円x^2＋y^2=1上の点Ｐにおけるこの円の接線とｘ軸、ｙ軸との交点をそれぞれA,Bとして、

の解釈が違うと思います。
y=txは原点をとおりますが、線分ＡＢは、原点を通らず、円に接しているということでしょう？

お礼

おっしゃる通りです。
勘違いしてました。
ごめんなさい。

回答No.2

shkwta

θ=∠POA とおきます（Pは第一象限だから0＜θ＜π/2)。△PBOは直角三角形ですから、∠ABO=θです。したがって、OA=1/sinθです。これより、△ABOも直角三角形ですから、L=AB=1/(sinθ cosθ)となります。
一方、sinの加法定理により sin2θ=2sinθcosθですから、L=2/sin2θ です。sin2θのグラフを描いてみれば、0＜θ＜π/2の中ではθ=π/4が最大であることがわかります。そのときのLが最小値です。

なお、最小二乗法はこの問題と関係がないと思います。

お礼

そうでしたね。最小二乗法は関係ありませんでしたね。
先入観に囚われすぎました。
ありがとうございました。