楕円・切り取られる接線の最小値

質問

楕円(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(0<b<a)の第一象限にある点における接線がx軸とy軸によって切り取られる線分の最小値を求めよ。

接点をP(s,t)(s,t>0)とおいて、接線の方程式が(sx/a^2)+(ty/b^2)=1、切り取られる接線の長さが(a^2/s)^2+(b^2/t)^2の平方根というところまで解きました。ここまでは正しいでしょうか？正しければこのあとの最小値の求め方、間違っていればお手数ですが最初からの解法を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.4

take008 · ベストアンサー

定理や公式はそのものを憶えるだけでなく，使い方も憶えましょう。
相加平均・相乗平均の定理はどのように使うか。
(1) ｘ＋ｙが一定のとき，ｘｙの最大値を求める。
(2) ｘｙが一定のとき，ｘ＋ｙの最小値を求める。
のどちらかです。
ｘｙが一定でないとき，
ｘ＋ｙ≧２√ｘｙ かつ ｘｙの最小値＝ａ ゆえに ｘ＋ｙの最小値＝２√ａ
は間違いです。

本題に入ります。
ｓ^2/ａ^2＋ｔ^2/ｂ^2＝１ だから ａ^2ｂ^2－ａ^2ｔ^2－ｂ^2ｓ^2＝０
(ａ^2－ｓ^2)(ｂ^2－ｔ^2)＝ｓ^2ｔ^2
(ａ^2－ｓ^2)/ｓ^2・(ｂ^2－ｔ^2)/ｔ^2＝１（一定）　…　相加相乗を使えるようになった
ｌ^2＝ａ^4/ｓ^2＋ｂ^4/ｔ^2＝ａ^2＋ａ^2(ａ^2－ｓ^2)/ｓ^2＋ｂ^2＋ｂ^2(ｂ^2－ｔ^2)/ｔ^2
≧ａ^2＋ｂ^2＋２√{ａ^2ｂ^2 (ａ^2－ｓ^2)/ｓ^2・(ｂ^2－ｔ^2)/ｔ^2}
＝ａ^2＋ｂ^2＋２ａｂ＝(ａ＋ｂ)^2
以下（＝が成り立つことの確認）省略

No.1さんのように三角関数を使うともっと簡単です。
☆を続けると
a^2/(cosθ)^2＋b^2/(sinθ)^2＝ａ^2(１＋tan^2θ)＋ｂ^2(１＋１/tan^2θ)
＝ａ^2＋ｂ^2＋ａ^2tan^2θ＋ｂ^2/tan^2θ
これに相加相乗を使えばすぐ出ます。

この三角関数の書き換えは積分のときよく使うので慣れてください。

お礼

相加相乗平均の解説ありがとうございます。この定理についてはずっともやもやしていたのですがおかげでよくわかりました。他の問題にも使えるようになれそうです。三角関数の書き換えも考えられるよう勉強したいと思います。

回答No.6

postro

＃２＃３です
たびたびの間違い大変失礼しました。
＃４さんの回答は大変参考になりました。
＞ｘｙが一定でないとき，
＞ｘ＋ｙ≧２√ｘｙ かつ ｘｙの最小値＝ａ ゆえに ｘ＋ｙの最小値＝２√ａ
＞は間違いです。
言われてみればなるほどです。

回答No.5

debut

No1です。
　何か、結果が私の場合と違うようなんですが・・
　私は　a+b が最小値になりました。
　例えば、a=2,b=1の　x^2/4+y^2=1 のとき、√2(a^2+b^2)なら√10です
　が、接点が(√(8/3),√(1/3))のとき、接線の長さは３までなります。
　　接点が(√(8/3),√(1/3))のとき
　　　まず、楕円上の点かどうかの確認
　　　　(√(8/3))^2/4=2/3、(√(1/3))^2=1/3だから足して１
　　　　x^2/4+y^2=1を満たす。
　　　接線とx軸、y軸との交点は（4/√(8/3)、0）（0、1/√(1/3))
　　　したがって、２点間の距離は√[{4/√(8/3)}^2+{1/√(1/3)}^2]
　　　＝√(6+3)＝√9＝３

相加平均もよさそうに見えるけど、なぜでしょう？

回答No.3

postro

＃２です
ごめんなさい。おっしゃるとおりですね↓
＞等号が成り立つのは(a^2/s)=(b^2/t)のとき
＃２は大間違いですね、撤回させてください。おはずかしい。

＞(s^2/a^2)+(t^2/b^2)=1に代入する、というのは間違いですか？
↑この方針で私もいいと思います。

それで、私の計算でも
＞L{min}=√2(a^2+b^2)
↑こうなりました

回答No.2

postro

そこまでは正しいと思います。
そのあとですが、平方根は計算が面倒なので接線の長さLの２乗を考えると、
L^2=(a^2/s)^2+(b^2/t)^2≧2(a^2/s)*(b^2/t)=2(a^2b^2)/st
（相加平均≧相乗平均）
よってstが最大のときLが最小だとわかる。
(s^2/a^2)+(t^2/b^2)=1 より　s^2=a^2(1- t^2/b^2)
よって s^2t^2=a^2t^2(1- t^2/b^2)　　・・・ア
ｓｔの最大とs^2t^2の最大は一致するので　ア　の最大を考える
t^2に関する２次式だとしてみればt^2=b^2/2 のときにアは最大になることがわかる
このときs^2=a^2/2 よって
s^2t^2=a^2b^2/4 のときすなわち　st=ab/2 のときLは最小となる
L^2{min}=2(a^2b^2)/(ab/2)=4ab
L{min}=2√(ab)

補足

回答ありがとうございます。相加平均相乗平均は考えてみたのですが、等号が成り立つのは(a^2/s)=(b^2/t)のときだからこれを(s^2/a^2)+(t^2/b^2)=1に代入する、というのは間違いですか？L{min}=√2(a^2+b^2)となってしまったんですが…。

回答No.1

debut

接点をＰ（acosθ、bsinθ）とおきます。（ただし、0<θ<π/2）

すると、接線の方程式は　(acosθ/a^2)x+(bsinθ/b^2)y=1 から
(cosθ/a)x+(sinθ/b)y=1

接線とｘ軸との交点Ｑは（a/cosθ , 0）、ｙ軸との交点Ｒは（0 , b/sinθ)

(ＱＲ)^2をf(θ)とすると、f(θ)＝a^2/(cosθ)^2＋b^2/(sinθ)^2・・☆

f ' (θ)＝(a^2sinθ)/(cosθ)^3－(b^2cosθ)/(sinθ)^3
　　　＝・・・と通分、分子の因数分解などすると、最後に分子は
　(√a*sinθ－√b*cosθ)(√a*sinθ＋√b*cosθ)(a(sinθ)^2+b(cosθ)^2)
までなります。0<θ<π/2なので、２番目と３番目のカッコは正になり
先頭のカッコの部分だけが増減表にかかわり、
√a*sinθ－√b*cosθ＝０より、sinθ/cosθ＝√b/√a、つまり
tanθ＝√b/√aを満たすθをαとすれば、f ' (θ)はαより小さい部分では負、
αより大きい部分では正となるので、このとき、f(θ)は最小。

１＋(tanθ)^2＝１/(cosθ)^2という、三角関数でやった式からtanθに
√b/√aを代入し、(cosθ)^2を求め、おなじみの　(sinθ)^2+(cosθ)^2＝１
から(sinθ)^2を求めれば、☆に代入後、（ＱＲ^2になっているので）
２乗をはずせば、最小値が求められるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。三角関数を使うとは考えもしませんでした。苦手なのでじっくり読ませていただきます。