最小値

質問

原点をOとするxyz空間で、第１象限にある点 (a,b,c) を通る超平面
とx軸, y軸,z軸との交点をA, B, Cとする。面積の和; △OAB+△OBC+△OAC+△ABCの最小値はいくらか。
導出法を明記し　お願い致します;

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

x/a1+y/b1+z/c1=1,
a/a1+b/b1+c/c1=1...(1)
△ABC=S1, 高さh,
四面体OABC体積V=a1b1c1/6=S1h/3,
h=1/Sqrt(1/a1^2+1/b1^2+1/c1^2)
△ABC=(1/2)a1b1c1*Sqrt((1/a1^2+1/b1^2+1/c1^2)
=(1/2)Sqrt((b1c1)^2+(a1c1)^2+(a1b1)^2)
S=△OAB+△OBC+△OAC+△ABC
=a1b1/2+b1c1/2+c1a1/2+Sqrt((b1c1)^2+(a1c1)^2+(a1b1)^2)/2
2S=a1b1+b1c1+c1a1+Sqrt((b1c1)^2+(a1c1)^2+(a1b1)^2)(=Fと置く)
相加平均と相乗平均の関係を用いて
min(F)>=3Sqrt((a1b1c1)^2)+Sqrt(3Sqrt((a1b1c1)^4)=3a1b1c1+Sqrt(3)*a1b1c1
={3+Sqrt(3)}a1^3
等号が成立するのはa1=b1=c1の時(1)より a1=a+b+c であるから
∴min(S)={3+Sqrt(3)}(a+b+c)/2 ... (Ans.)