積分の問題について

質問

a,bを正の数とする。２つの曲線y=x^3＋bx^2 , y=ax^2＋abxによって囲まれる２つの部分の面積の和をSとする。
(1)Sをa,bで表せ。
(2)a＋b=1のとき、Sを最小にするa,bの値を求めよ。
（一対一の対応、p157)

この問題の(2)なのですが、解答は

(1)より12S=(a^4＋b^4＋2a^3b＋2ab^3)
ab=tとおくと
12S=1-2t-2t^2　－(1)
ここで、t＞0であり、この範囲ではSはtの減少関数である。
よって、Sが最小になるのはtが最大のときであり、
t=ab=a(1-a) (0＜a＜1)
はa=1/2のときに最大となる。

となっているのですが、
a＞0,b＞0,a＋b=1より
0＜ab＜1⇔0＜t＜1
これと(1)を二次関数のグラフと見て最小値はt=1とするのはなぜダメなのでしょうか？
t=1はとれないし、Sもマイナスになってしまうのでダメなことは明らかですが、なぜ解答のような考えに至るのかがわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

＞これと(1)を二次関数のグラフと見て最小値はt=1とするのはなぜダメなのでしょうか？

tの値の範囲はどうなるのか？

a＋b＝1、ab＝t、a＞0、b＞0であるから、aとbはm＾2-m＋t＝0の2つの正の解。
従って、判別式≧0、2解の和＝1、2解の積＝t＞0より　0＜t≦1/4の範囲で最小値を考えなければならない。

補足

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.5

take_5

直接指導ねぇ？　そんな事なら、最つと簡単に説明出来る。
積分を習ってるんだから、座標くらいは習ってるだろう。

＞a＞0,b＞0,a＋b=1より　0＜ab＜1⇔0＜t＜1

a＞0、b＞0、a＋b＝1をab平面上に図示してみて、この条件下で双曲線：ab＝k（kは定数）が動けるのは、a＋b＝1に接する時が最大だってすぐ分るだろう。
後は、判別式でも使えばkの値はすぐ出る。
最小は（最小値にはならないが）、点（1、0）と（0、1）を通る時だという事も簡単だろう。つまり、0＜k≦1/4。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.4

okada2728

誤り部分を直接指摘します。

a＞0,b＞0,a＋b=1より
0＜ab＜1⇔0＜t＜1

としましたが、ではabが0と1の間を動くというのであれば、例えばab=0.5となるaとbの値はそれぞれいくつなのか考えてみてください。
もちろんa+b=1とab=0.5を連立して解けば求めることができるはずですが、解いてみると実数解は存在しません。
つまりab(=t)は0.5など取り得ないのです。
よって0＜ab＜1としたのは過大評価であって、正しい変域ではないためこの関係をもとに正解にはたどり着けません。（-100＜ab＜200など何でもよいことになります）
正しい方法は既に示したとおりです。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.2

okada2728

解答の
＞Sが最小になるのはtが最大のときであり
という部分まではいいのでしょうか？
次にtの変域を求める問題に変わるのですが、この時あなたはtの変域を0＜t＜1としましたが何故ですか。

tの変域を知りたければ解答のとおり、a＞0,b＞0,a＋b=1，t=abを使って、tをaの２次関数とみて
t=ab=a(1-a)=-(a-1/2)^2+1/4 (0＜a＜1)
から、tはa=1/2のときに最大値1/4をとります。最小値はありません。つまりtの変域は0<t<=1/4です。
後は、Smin=S(1/4)となります。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.1

jung_taro

もう一度チェックしていただきたいのが、
ご質問者様の解答部分で

a＞0,b＞0,a＋b=1より
0＜ab＜1⇔0＜t＜1

という部分です。

このとき、本当にabのとりうる値が１よりも小さいかどうか、
いろいろと数を実際にあてはめて検証してみてはいかがでしょうか？

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。