ローラン展開をつかう積分

質問

1/２πi *∫e^z/ｚ^n dz C:|z|=1
この積分がわかりません。ローラン展開を使うのはわかるのですが、
ローラン展開をどう使えばいいのかわからないのです。
回答していただけたらとてもありがたいです。

回答No.1

KitCut-100 · ベストアンサー

複素数の積分で Cの周囲に一周したときに値があるのは,ローラン展開したときの '1/zの項'だけです。
従って 与式 をローラン展開して 1/zの係数を求めます。
その係数に2πiをかけた値が積分の値になります。 たあし問題をみると
1/2πiが積分記号の前にかかっているので、求めるものは、
1/zの係数をもとめればOKということになります。
つまり留数を求める問題です。

さて、 e^z/z^nを 展開します。 この展開は e^zの展開を使います。

e^z= 1+ z^1+ 1/2!z^2 + 1/3! z^3 + ,,,,,,,,,
より これを z^nでわると

e^z/z^n= z^(-n)+1*z^(1-n)+ 1/2!*z^(2-n),,, +1/k!*z^(k-n)+ ,,,,,,,

この式の 1/zの係数を求めます。 このときは k= n-1ですのでその係数は
1/(n-1)!
です。 従って答えは 1/(n-1)! です。

答え 積分値 1/(n-1)!

以上です。

お礼

すばやい回答ありがとうございました。
わかりやすくてとても助かりました。