ローラン展開 教えてください

質問

画像が小さかったので再投稿しました

自分で解いた(風になった)画像を元に質問します。
ローラン展開はなんとなく出来てる気がするのですが、一般項のn-2の部分(画像の1番下のオレンジ丸)が答えではnになっているのがよくわかりません。
テイラー展開はマイナスの範囲を考えないローラン展開であることはわかっているのですが(たぶんわかってない…)
結局何が言いたいかというと、最終的な答えがn=-2,-1,0......となっているのがなぜかわからないんです。いろいろ考えた結果下線を引いた部分がテイラー展開ではなくローラン展開をすべきなのではないか？という結論に至ったのですがどうしてn=-2~になったのかがわかりません。最後にnになるように逆算して下線部のオレンジ丸をn+2にするだけなのかな～と思って納得しようとしましたがもやもやが残りまして質問させてもらいました。
自分が理解できていない内容だけに質問も分けわからないかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

info222_

f(z)=1/(z(z+1)^2)
の極はz=0, -1(2位)
[1] z=0のまわりのローラン展開を求めるのであれば
f1(z)=1/(z+1)^2をz=0のまわりのテーラー展開します。
f1(z)=1/(z+1)^2=1-2z+3z^2-4z^3+...+((-1)^(n+1)) (n+2)z^(n+1)+...

以上から f(z)のz=0のまわりのローラン展開は
f(z)=(1/z)f1(z)=1/z-2+3z-4z^2+...+((-1)^(n+1)) (n+2)z^n+...
となります。

[2] z=-1のまわりのローラン展開を求めるのであれば
f2(z)=1/zをz=-1のまわりのテーラー展開します。
z+1=uとおくとz=u-1
1/z=1/(u-1)
f2(u-1)=1/(u-1)をu=0のまわりのテーラー展開を求めると
f2(u-1)=-1-u-u^2-u^3 - ... -u^n -...
u=z+1を代入すれば z=-1のまわりのf2(z)のテーラー展開
f2(z)=-1-(z+1)-(z+1)^2-(z+1)^3- ... -(z+1)^n+...
が得られます。

以上から f(z)のz=-1のまわりのローラン展開は
f(z)=f2(z+1)/(z+1)^2
=-1/(z+1)^2 -1/(z+1) -1 -(z+1) -(z+1)^2 - ... -(z+1)^n - ...
となります。