テイラー展開とローラン展開

質問

テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか？式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。

回答No.3

F0ur1er · ベストアンサー

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

＞z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか？

先に点ｚ＝ａを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは？
関数ｆ(ｚ)がどの領域(ｚ平面や与えらている領域Ｄ)で正則なのかという風に・・・。

＞関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか？

除去可能な孤立特異点、(ｐ位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ローラン展開も領域を意識したほうがいいと思います。
例えば、環状領域は０＜|ｚ|＜＋∞、０＜|ｚ－１|＜１などと表されます。

＞また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開（u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開）を用いるのでしょうか？

必ずしもそうとは言えません。与えられた関数によるでしょう。
例として

f(z)={(z^2)-1}/{(z+1)(2z-1)}の0<|z-(1/2)|<(1/2)
でのローラン展開を求めると、
f(z)=(z-1)/(2z-1)=(1/2)*{1-1/(2z-1)}=(1/2)-(1/4)*{1/(z-1/2)}
従って、f(z)=(1/2)-(1/4)*(z-(1/2))^(-1)

というように、テイラー展開を用いなくてもローラン展開が出来るものもあります。
(途中の計算は確認してください。)

また、領域を意識する必要性は＃１のローラン展開の例で領域を0<|z-1|<1
に変えると当然一意性があるので違ったローラン展開になります。(g(z)=-1/zとおいて計算する。)

自分の授業の話ですが複素解析学ではマクローリン展開と言わなかったような気がします。(教授の好みかもしれません。)

それでは頑張って下さい。

お礼

お礼が遅れてしまいすみませんでした。
２度も回答していただき、おかげで解き方を理解する事ができました。本当にありがとうございました。

回答No.2

mmky

回答は出ていますので参考程度に

展開の意味ですね。
連続関数についてのテイラー展開が一般形で、マクローリン展開はその中の特別な場合、原点z=0 での展開ですね。z=0 で特異点（関数が不連続という意味ですね。）を持つ関数ではマクローリン展開もだめなので、特異点をはずしてその近傍で展開するわけですが、それをローレンツ（ローラン：フランス語読みですかね）展開というんですね。
だから、関数f(z)=1/z　で考えれば、ｚ≠0　以外では
テーラ展開可能で、z=0 は特異点になるのでマクローリン展開は不可能ですね。
そこで、z=0 の近傍（関数が連続性である限りいくら近くても良い。）にｚ=0を囲む点群ε を取ってそのεの周りで展開すると展開可能になり、それをローレンツ展開というんですね。
だから、f(z)=1/ｚは、ｚ=0 の近傍でローレンツ展開可能ということですね。表現はf(z)=1/|ｚ-ε| でしょうか。F0ur1erさんのご指摘のように関数f(z)=1/ｚをz=-iでローレンツ展開は不可ですね。
関数f(z)=1/(ｚ+i)　であれば可能ですね。
簡単にいえばそのような関係でしようか。

お礼

お礼が遅れてしまいすみませんでした。
回答と図書館で調べた本で大体解き方を理解する事ができました。本当にありがとうございました。

回答No.1

F0ur1er

こんにちわ。複素解析学の授業ですか？
ところで、例のままではローラン展開とテイラー展開
が一致すると思われます。
(正確にはローラン展開できない(??)と思います。)

---テイラー展開---------------------
f(z)=1/z=z^(-1)
f´(z)=-z^(-2)
f´´(z)=(-1)*(-2)*z^(-3)
……
f^(k)(z)=k!*(-1)^k*z^{-(k+1)}
であるから、z=-iのとき
f^(k)(-i)=k!*(-1)^k*(-i)^{-(k+1)}
また、-i=1/i、-1=i^2であるから
f^(k)(-i)=k!*(i)^{3k+1}
以上から
f(z)=Σ{k=0→∞}1/(k!)*k!*(i)^{3k+1}*(z+i)^k
後はまとめると、
f(z)=Σ{k=0→∞}(i)^{3k+1}*(z+i)^k
----------------------------------------------

一応、関数は違いますが参考までに。

---ローラン展開-------------------------------
f(z)=1/{z*(z-1)}
の、0<|z|<1におけるローラン展開を求める。
f(z)=-1/z+1/(z-1)
と部分分数に展開する。そこで、
g(z)=1/(z-1)とおいて、0<|z|<1でテーラー展開すると
g(z)=Σ{k=0→∞}c_k*z^k
と書ける。ただし、c_k=[g^{(k)}]/k!
また、
g´(z)=-(z-1)^(-2)
g´´(z)=(-1)*(-2)*(z-1)^(-3)
であるから、
g^{(k)}(z)=k!*(-1)^k*(z-1)^{-(n+1)}
これに、z=0を代入すれば、
g^{(k)}(0)=k!*(-1)^k*(-1)^{-(n+1)}
計算すると、
g^{(k)}(0)=k!*(-1)
となり、c_k=-1を得ます。以上から、
f(z)=-1/z-Σ{k=0→∞}z^k
が得られます。
----------------------------------------------

このように、ローラン展開は環状領域R_1<|z-α|<R_2で行われるものが
ほとんどだと思います。このローラン展開で留数などの計算するので
よく覚えたほうがいいと思いますよ。

補足

丁寧に説明していただきありがとうございます。z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開、関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか？また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開（u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開）を用いるのでしょうか？そうだとすると、ローラン展開にテイラー展開を用いるのはちょっと抵抗が・・・。質問ばかりですみません。よろしくお願いします。