ローラン展開に関する質問です

質問

ローラン展開に関する問題です

f(z)=cosh(z+1/z)の原点を中心とするローラン展開をΣn=[-∞,∞] a[n]*z^nとするとき
a[n]=a[-n]=1/2π∫[0,2π]cosnθcosh(2cosθ)dθ (n=0,1,2…)であることを示せ

Hint:a[n]+a[-n]を係数の積分表示を用いて計算する

a[n]を積分表示して、θを使う形に変換すればいいというのはなんとなくわかるのですが
具体的にどうすればいいのかがわかりません
なるべく詳しくお願いします

それからもう一つ
ローラン展開をするコツのようなものはあるのでしょうか
いくつか例題とその解き方を見たのですが、1/(z-1)の公式を使ったり解き方の理解はできても
その解き方の導き方がどうにもわからないのです

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

f(z)=cosh(z+1/z)は、Z=0,∞以外では正則であるから、0＜|z|＜∞でローラン展開出来る。
∴f(z)=cosh(z+1/z) = Σ[n=-∞～∞]{a[n]・z^n}とすれば、係数a[n]は
a[n] = (1/2πi)・∫|z|=1{cosh(z+1/z)/z^(n+1)}dz
z = e^(iθ)と置けばdz = ie^(iθ)dθ
a[n] = (1/2πi)・∫[-π,π]{e^(-i(n+1)θ)cosh(e^(iθ) + e^(-iθ))・i・e^(iθ)}dθ
（e^(iθ) + e^(-iθ) = 2cosθであるから与式に代入して）
= (1/2π)・∫[0,2π]{e^(-inθ)cosh(2cosθ)}dθ
= (1/2π)・∫[0,2π]{[cos(nθ) - isin(nθ)]cosh(2cosθ)}dθ
ここで
sin(nθ)・cosh(2cosθ)は奇関数だから積分値は0
よって
a[n] = ∫[0,2π]{cos(nθ)cosh(2cosθ)}dθ = a[-n]

以下の定理を用いている。
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[定理]
環状領域 r＜|z - a|＜R　(0≦r＜R≦∞)上の正則関数fは、この領域内で、絶対収束且つ広義一様収束
する級数
f(z) = Σ[n=-∞～∞]c[n](z - a)^n
に一通りに展開出来る。
ここにr＜ρ＜R なる任意のρに対して
c[n] = (1/2πi)・∫|ζ-a|=ρ{f(ζ)/(ζ - a)^(n+1)}dζ　　（n = 0,±1,±2,±3,・・・）
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後半の質問は・・・、パス！！