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ローラン展開に関する問題です
- f(z)=cosh(z+1/z)の原点を中心とするローラン展開をΣn=[-∞,∞] a[n]*z^nとするとき、a[n]=a[-n]=1/2π∫[0,2π]cosnθcosh(2cosθ)dθ (n=0,1,2…)であることを示す方法について詳しく教えてください。
- ローラン展開をするコツや解き方の導き方について教えてください。
- ローラン展開の具体的な例題と解き方についても教えてください。
- hiratai315
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f(z)=cosh(z+1/z)は、Z=0,∞以外では正則であるから、0＜|z|＜∞でローラン展開出来る。 ∴f(z)=cosh(z+1/z) = Σ[n=-∞～∞]{a[n]・z^n}とすれば、係数a[n]は a[n] = (1/2πi)・∫|z|=1{cosh(z+1/z)/z^(n+1)}dz z = e^(iθ)と置けばdz = ie^(iθ)dθ a[n] = (1/2πi)・∫[-π,π]{e^(-i(n+1)θ)cosh(e^(iθ) + e^(-iθ))・i・e^(iθ)}dθ （e^(iθ) + e^(-iθ) = 2cosθであるから与式に代入して） = (1/2π)・∫[0,2π]{e^(-inθ)cosh(2cosθ)}dθ = (1/2π)・∫[0,2π]{[cos(nθ) - isin(nθ)]cosh(2cosθ)}dθ ここで sin(nθ)・cosh(2cosθ)は奇関数だから積分値は0 よって a[n] = ∫[0,2π]{cos(nθ)cosh(2cosθ)}dθ = a[-n] 以下の定理を用いている。 --------------------------------------------------------- [定理] 環状領域 r＜|z - a|＜R (0≦r＜R≦∞)上の正則関数fは、この領域内で、絶対収束且つ広義一様収束 する級数 f(z) = Σ[n=-∞～∞]c[n](z - a)^n に一通りに展開出来る。 ここにr＜ρ＜R なる任意のρに対して c[n] = (1/2πi)・∫|ζ-a|=ρ{f(ζ)/(ζ - a)^(n+1)}dζ （n = 0,±1,±2,±3,・・・） ------------------------------------------------------------ 後半の質問は・・・、パス！！
