整式

質問

この問題がわかりません。どなたか説明してください。お願いします、、！

(問題は写真にあります)

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

f(x)=a(0)x^3+a(1)x^2+a(2)x+a(3)
g(x)=b(0)x^3+b(1)x^2+b(2)x+b(3)
異なる4つの実数γ(0),γ(1),γ(2),γ(3)に対し,
f(γ(i))=g(γ(i))(i=0,1,2,3)
h(x)=f(x)-g(x)
とすると
h(x)={a(0)-b(0)}x^3+{a(1)-b(0)}x^2+{a(2)-b(2)}x+a(3)-b(3)…(1)
h(γ(i))=0(i=0,1,2,3)
だから因数定理から
h(x)=c(x-γ(0))(x-γ(1))(x-γ(2))(x-γ(3))
だからこれと(1)から
{a(0)-b(0)}x^3+{a(1)-b(0)}x^2+{a(2)-b(2)}x+a(3)-b(3)=c(x-γ(0))(x-γ(1))(x-γ(2))(x-γ(3))
c≠0を仮定すると右辺が4次式で左辺が3次式に矛盾するから
c=0
となるからh(x)は恒等的に0となるから
a(i)=b(i)(i=0,1,2,3)

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