整式

質問

整式f(x)を(x-1)＾2で割った時の余りは8x-4,(x-2)＾2で割ったときの余りは4x＋12である。
整式f(x)を{(x-1)＾2}(x-2)で割ったときの余りをa(x＾2)＋bx＋cと表すときcの値が分からないので教えていただけませんでしょうか？
a,b,cは実数。

整式f(x)を{(x-1)＾2},{(x-2)＾2},{(x-1)＾2}*（ｘ－２）で割ったときの商g(x),h(x),αとおくと
f(x)=g(x){(x-1)＾2}＋8x－4
f(x)=h(x){(x-2)＾2}＋4x＋12
f(x)=α{(x-1)＾2}(x-2)＋a(x＾2)＋bx＋c

この後が??です。

回答No.4

chomsky123

f(x)=q(x){(x-1)＾2}(x-2)＋a(x-1)＾2＋8x-4…(A)

？？？

高校生？

回答No.3

kkkk2222

［(x-1)＾2］(x-2）で割るという問題は、ちょっと説明が難しいのですが・・・。
あと、此の問題は＜条件が多すぎる？＞・・・つまり、
［(x-1)＾2］［(x-2)＾2］で割っても、３次式の剰余が算出できると。
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パターンとしては剰余を、
Ａ［(x-1)＾2］＋Ｂ［x-1］＋Ｃ　と置くのが技巧になっています。

＞＞(x-1)＾2、8x-4、
＞＞(x-2)＾2、4x+12、

　F(x)=J（x）［(x-1)＾2］(x-2）+Ａ［(x-1)＾2］＋Ｂ(x-1)＋Ｃ

＊　Ｆ（１）＝４より、＜Ｃ＝４＞
F(x)=J(x)［(x-1)＾2］(x-2）+Ａ［(x-1)＾2］＋Ｂ(x-1)＋４。

此の式は、(x-1)＾2 で括ると、
F(x)=［J(x)(x-2）＋A］［(x-1)＾2］＋Ｂ(x-1)＋４

(x-1)＾2で割った剰余が、8x-4、
Ｂ(x-1)+４＝8x-4、
Ｂx+(４-Ｂ)＝8x-4、
＊　Ｂ＝8、または、(４-Ｂ)＝-4、　＜Ｂ＝８＞

＊　Ｆ（２）＝２０より、　Ａ＋８＋４＝２０、　＜Ａ＝８＞

＊＊　剰余は、８［(x-1)＾2］＋８(x-1)＋４
展開すると、
８（x^2)-16x+8+8x-8+4＝８（x^2)-8x+4　（解）
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（割り算）だけで解くならば、

普通に、F(x)=J（x）［(x-1)＾2］(x-2）+A(x＾2)＋Ｂx＋Ｃ、と置いて、

Ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）［(x-1)＾2］＋（８ｘ-４）
Ｆ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）［(x-2)＾2］＋（４ｘ+１２）

Ｆ（１）＝４より、＜Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝４＞
Ｆ（２）＝２０より、＜４Ａ＋２Ｂ＋Ｃ＝２０＞
下から上を引いて、＜３Ａ＋Ｂ＝１６＞

ＢをＡで表すと、Ｂ＝（１６-３Ａ）
ＣもＡで表すと、Ａ＋（１６-３Ａ）＋Ｃ＝４、Ｃ＝（２Ａ-１２）

Ｆ（ｘ）＝Ｊ（ｘ）【（ｘ-１）＾２】【ｘ-２】＋Ａ（ｘ＾２）＋（１６-３Ａ）ｘ＋（２Ａ-１２）

此れを強引に、【（ｘ-１）＾２】で割ると、商はＡ、剰余が（１６-Ａ）ｘ＋（Ａ-１２）、
（１６-Ａ）ｘ＋（Ａ-１２）＝８ｘ－４、
（１６-Ａ）＝８、または、（Ａ-１２）＝－４

Ａ＝８、Ｂ＝－８、Ｃ＝４
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(微分）を使用するならば、＜積の微分になります。＞

Ｆ（ｘ）＝Ｊ（ｘ）【（ｘ-１）＾２】【ｘ-２】＋Ａ(x＾2）＋Ｂx＋Ｃ
Ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）［(x-1)＾2］＋（８ｘ-４）
Ｆ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）［(x-2)＾2］＋（４ｘ+１２）

Ｆ（１）＝４、＜Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝４＞
Ｆ（２）＝２０、＜４Ａ＋２Ｂ＋Ｃ＝２０＞

Ｆ（ｘ）=［(x-2）J（x）］［(x-1)＾2］+Ａ(x＾2）＋Ｂx＋Ｃ
Ｆ'（ｘ）=［(x-2）J（x）］'［(x-1)＾2］+［(x-2）J（x）］［２(x-1)］＋２Ａx+Ｂ
Ｆ'（１）＝２Ａ+Ｂ

Ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）［(x-1)＾2］＋（８ｘ-４）
Ｆ'（ｘ）＝Ｐ'（ｘ）［(x-1)＾2］＋Ｐ（ｘ）*２(x-1)＋８
Ｆ'（１）＝８
　　　　　　　＜２Ａ+Ｂ＝８＞

連立方程式を解いて完成です。
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回答No.2

info22

あなたの方針での#1さんの回答でOKです。
a,b,cの連立方程式を解けば
a=8,b=-8,c=4と出てきます。

考え方として第3の式を作るとき、できるだけ与えられた条件を入れ込むようにすれば、より簡単になるでしょう。
整式の次数の指定がないですから商をαでなくq(x)のようにxの関数と分かるように置いた方がいいかも知れませんね。

f(x)=q(x){(x-1)＾2}(x-2)＋a(x-1)＾2＋8x-4…(A)
と置くとか
f(x)=q(x){(x-1)＾2}(x-2)＋b(x-2)＾2＋4x+12…(B)
と置けば未知数は一個だけになります。
（A)の場合はf(2)=20の条件を使ってaを求めます。
あまりはa(x-1)＾2＋8x-4にaを代入すればいいですね。

（B)の場合はf(1)=4の条件を使ってbを求めます。
あまりはb(x-2)＾2＋4x+12にbを代入すればいいですね。

工夫次第で連立方程式を解かないで済みます。

回答No.1

debut

f(x)=g(x){(x-1)＾2}＋8x－4・・・(1)
f(x)=h(x){(x-2)＾2}＋4x＋12・・・(2)
f(x)=α{(x-1)＾2}(x-2)＋a(x＾2)＋bx＋c・・・(3)
とします。
(1)からx=1のとき、つまり f(1)=4
(2)から、f(2)=20
これらと(3)から、f(1)=a+b+c=4、f(2)=4a+2b+c=20
と２つしか式が作れません。

そこで、(3)を(x-1)^2で割ったときのことを考えると、
α{(x-1)^2}(x-2)の部分は割り切れるので、ax^2+bx+c
を(x-1)^2=x^2-2x+1で割ります。（割り算の実行）
すると、商がa、あまりが(2a+b)x+c-aとなります。
f(x)を(x-1)^2で割ったときのあまりは8x-4だったので、
上で求めたあまり(2a+b)x+c-aが8x-4になるということ
になって、係数を比較し、2a+b=8,c-a=-4と２つの式
が導かれます。
あとは、
4a+2b+c=20
2a+b=8
c-a=-4
の連立方程式です。