整式について

質問

xの整式f(x)とf(x+a) (aは0でない実数)について、それぞれをn回微分して初めて f^(n)(x)=f^(n)(x+a)となるとき、f(x)の次数はnと決まりますか?
(f^(n)(x)はf(x)をn回微分したものを表します。)

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

n≧1 については、そうですね。
n 回微分して初めて x について恒等的に
f^(n)(x)=f^(n)(x+a) となるときには、
f(x) の次数は n と決まります。

f(x) が x の m 次式のとき、
g(x) = f(x) - f(x+a) と置くと
g(x) は x の m-1 次式ですが、
n 回微分して初めて恒等 0 になる整式は
n-1 次式ですから。