数学 整式の問題

質問

この問題がわかりません。どなたか説明してください。お願いします、、！
問題は写真にあります。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

自然数n≧1に対して
複素数係数{a(k)}_{k=0～n}の整式を
f(x)=Σ_{k=0～n}a(k)x^k
とする
f(x)=0
は複素数{a(k)}_{k=0～n}を係数とする
n次の方程式だから
必ず複素数の解をもつからその解を
α
とすると
f(α)=0
となる
f(x)をx-αで割った商をg(x)余りをrとすると
f(x)=(x-α)g(x)+r
0=f(α)=r
だから
f(x)=(x-α)g(x)…(1)

1次式は1次式の積に素因数分解できる

ある自然数nに対して
n次式は1次式の積に素因数分解できる…(2)
と仮定する
n+1次式をf(x)とすると(1)から
f(x)=(x-α)g(x)
だから
g(x)はn次式だから(2)から
g(x)は1次式の積に素因数分解できるから
g(x)=cΠ_{k=1～n}(x-β_k)
だから
f(x)=c(x-α)Π_{k=1～n}(x-β_k)
n+1次式は1次式の積に素因数分解できるから
全ての自然数nに対して
n次式は1次式の積に素因数分解できる
∴
複素係数の整式はすべて,1次式の積に素因数分解できる

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

hue2011

理解するために簡単に言いますが、方程式の解というのは
x=何とか、x=これこれ、x=なになに・・・
というように出てくるものですね。
つまり
x=a
x=b
x=c
のような形になったはずです。a,b,cは複素数でもそうでなくても同じものです。

これはどういう計算でなりたったんでした？
(x-a)(x-b)(x-c)=0
だったからじゃないですか。
常にこれがなりたつならx=aの場合、x=bの場合、x=cの場合にだけなりたつわけです。

この式自体が素因数文化された式でしょう。

このように理解して、きっちりした解答は、1番の回答者様の書式で書いてください。

お礼

ありがとうございます！