整式の除法の問題が解けません。

質問

x^3+ax^2+bx+cを(x+1)^2で割った余りはx-1であり、x+2で割った余りは4であるとする。x+3で割った余りを求めよ。

という問題です。
解説を見たのですが、どうしても理解できない部分があります。
x^3+ax^2+bx+c=(x+1)^2(x+a)+x-1と表せる。
という部分です。解説によると、上の式の(x+a)が商であり、(x-1)が余りであるそうなのです。(x-1)は問題に余りだと書いてあるのですが、何故商が(x+a)と表せるのかがよく分かりません。

みにくくて申し訳ありませんが、どなたか分かる方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

kumipapa · ベストアンサー

＞　x^3+ax^2+bx+c=(x+1)^2(x+a-2)+(-2a+b+3)x-a+c+2
＞　までは自分でも導けたのですが、何故商にあたる部分を(x+p)と書き表すのかがよく分かりません。

そもそも、多項式 P(x) を Q(x) で割るという定義は何でしょうか。それは、
P(x) = Q(x)S(x) + R(x)
を恒等的に成立させる S(x) と R(x) を求めることにあり、S(x)を商、R(x)を余りと呼ぶわけですが、単にこの式を成立させる S(x), R(x) を求めるのならば、その組み合わせは無限に存在してしまいます。そこで、余り R(x) は、Q(x)よりも次数の低い多項式でなければならいという約束（除算の定義）を加える事により、商 S(x) と余り R(x) は一意に決まるようになるわけです。
ここで、P(x) が n 次多項式であり、Q(x) が m (≦n) 次多項式であったとすると、定義より R(x) は m-1 次以下の多項式でなければなりません。
すると、
P(x) = Q(x) S(x) + R(x)
において、左辺 P(x) は n 次多項式、右辺 R(x) は m-1（＜n）次多項式ですから、この等式が成立するためには、Q(x) S(x) は n 次多項式にならなければなりません（そうでないと、左辺にx^n の項があるのに、右辺にx^n の項がなくなっちゃいますね）
さらに、m 次式 Q(x) に S(x) を掛けて n 次式になるためには、S(x) は n-m 次式でなければなりません。
ですから、n 次多項式 P(x) を m次多項式 Q(x) で割ったなら、商 S(x) は n-m 次多項式、R(x) は m-1 次以下の多項式となります。

本問に立ち返ると、
3次式 x^3+ax^2+bx+c を 2次式 (x+1)^2 で割れば、その商は 3-2 = 1次式でなければならず、かならず px + q（ただし p,q は定数）の形にならなければなりません。また、余りが x - 1 なのですから、
x^3+ax^2+bx+c　= (x + 1)^2 (px + q) + x - 1
を成立させるような p, q が存在します。何故というより、多項式の除算の定義をそのまま式にするとこうなるという事です。
つぎに、
x^3+ax^2+bx+c　= (x + 1)^2 (px + q) + x - 1
を再度眺めて、x^3 の係数に着目すると、
左辺の x^3 の係数は 1
右辺の x^3 の係数は p
ですから、この式が恒等式であるためには、p=1 であることは自明です。
従って、最初から、
x^3+ax^2+bx+c　= (x + 1)^2 (x + q) + x - 1
とおくわけです。

なお、
x^3+ax^2+bx+c = (x+1)^2(x+a-2)+(-2a+b+3)x -a+c+2
まで解けたのであれば、そのまま解いてしまっても勿論構いません。
説明のために、f(x) = (x+1)^2(x+a-2)+(-2a+b+3)x -a+c+2 ・・・(1)
とおくと、f(x) を (x+1)^2 で割った余りが (x-1) なのだから
(-2a+b+3)x - a+c+2 = x - 1
これが恒等式であるから、
-2a + b + 3 = 1 ⇔ b = 2a - 2　　・・・(2)
-a + c + 2 = -1　⇔ c = a - 3　　・・・ (3)
次に、f(x) を (x+2) で割った余りは 4 なので、
f(x) = (x+2) Q(x) + 4 （Q(x)は2次式）
とも書けるはずで、このとき、f(-2) = 4 であるから、これを(1)に適用して
f(-2) = 4a - 2b + c -8 = 4
(2), (3) を代入して、
4a - 2(2a -2) + (a-3) - 8 = 4
a = 11
∴　f(x) = (x+1)^2(x + 9) + x - 1　・・・(4)
f(x) を (x+3) で割ったときの商をR(x)、余りを r とすると、
f(x) = (x+3)R(x) + r
と書け、f(-3) = r
(4)式より　f(-3) = (-2)^2 × 6 - 3 -1 = 20 ですから、f(x) を (x+3) で割ったときの余りは 20

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
非常に分かりやすく理解することが出来ました。
また、x^3+ax^2+bx+c = (x+1)^2(x+a-2)+(-2a+b+3)x -a+c+2
をなんとしても使いたかったのでｗそのまま解けることがわかって嬉しいです＾＾

回答No.6

take_5

微分を知ってればアッサリ片付く。。。。。。。笑

f（x）＝x^3+ax^2+bx+cとし、f（x）を(x+1)^2で割った時の商をＡ（x）、x+2で割った時の商をＢ（x）とする。
条件から、x^3+ax^2+bx+c＝Ａ（x）*(x+1)^2＋x-1より、x^3+ax^2+bx+c-（x-1）＝Ａ（x）*(x+1)^2≡g（x）とすると、
g（x）は(x+1)^2で割り切れるから、g（-1）＝g´（-1）＝0.
計算すると、b＝2a-2　‥‥(1)。c＝b-a－1＝a-3‥‥(2)
又、x^3+ax^2+bx+c＝Ｂ（x）*（x+2）＋4より　x^3+ax^2+bx+c-4＝Ｂ（x）*（x+2）となり、x^3+ax^2+bx+c-4はx＝-2で割り切れるから、4a-2b＋c＝12　‥‥(3)
(1)から(3)までを連立すると、（a、b、c）＝（11、20、8）であるから、f（x）＝x^3+11x^2+20x+8.
従って、f（-3）＝20.

お礼

微分も使えるんですね！
別の解法を教えていただきありがとうございます。
しっかり勉強します＾＾

回答No.4

mgsinx

#1です。

3次式を2次式で割ると、商は必ず1次式になります。
このことは、n次式×m次式=(n+m)次式・・・(1)という法則からわかります。
ちなみに(1)については、n次式のx^nの項とm次式のx^mの項の積がx^(n+m)をもつことから明らかです。
このあたりはしっかりと理解しておくといいと思います。

さて、商(=Q(x))を(px+q)とおくということについてですが、
現在、Q(x)は1次式ということはわかっています。
ここで、全ての1次式はpx+q(p, qは定数：つまり、xやその他の変数を含まない)の形に表せることに注意してください。
(5x+6ならばp=5, q=6、3x-2ならばp=3, q=-2)
これはちょうど、全ての1次関数がy=ax+bの形に書き表せることに似ています。
つまり、1次式はxの項と数字の項の2つの項の和によって成り立っているということです。
このように、未知の式を文字でおくということは重要なテクニックですので、使えると非常に便利です。
（因みに、未知のn次式はn+1個の文字(定数)を使って書き表せます。）

>x^3+ax^2+bx+c=(x+1)^2(x+a-2)+(-2a+b+3)x-a+c+2
この等式は合っています。
これより、x^3+ax^2+bx+cを(x+1)^2で割ったときの商はx+a-2です。
先ほどの例に当てはめると、p=1, q=a-2となります。
(aは定数なので、qも定数)
よって、x+a-2はpx+qの形をしていることがわかります。

わかりにくい点があれば再びお答えします。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます。
一行一行しっかり確認し、理解することが出来ました！

回答No.3

kumipapa

＞　解説を見たのですが、どうしても理解できない部分があります。
＞　x^3+ax^2+bx+c=(x+1)^2(x+a)+x-1と表せる。
＞　という部分です。
はい。理解できなくて正解です。解説は誤りと言わざるを得ないです。
x^3+ax^2+bx+c=(x+1)^2(x+a)+x-1
と書けば、左辺の a と右辺の a は当然同じ a でなければ式としてはおかしいが、質問者さんのおっしゃるとおり、それではこの等式は成立しません。仮にこの解説どおりに回答すれば、正常な採点者ならば当然減点するところでしょう。
左辺の a と右辺の a の位置に来るべきものは当然別物ですから、ここは、
x^3 + ax^2 + bx + c = (x + 1)^2(x + p) + x-1が成立する p が存在する
とすべきところです。商 (x+p) の項の x の係数が１であることはいちいち説明しなくても明らかでしょう。
左辺のa,b,cをそのまま利用するならば、
x^3 + ax^2 + bx + c = (x + 1)^2(x + a-2) + (-2a+b+3)x -a+c+2
ですが、まあ、わざわざこのように表現して面倒にする必要はない。
与式をf(x)とおくと、
f(x) = (x+1)^2(x+p) + x-1
f(-2)=4 より p = 9
このときf(-3) = 20 より、(x+3)で割ったときの余りは 20 ですね。

お礼

ありがとうございます。
解説のaと、f(x)におけるaは違う値なんですね。
x^3+ax^2+bx+c=(x+1)^2(x+a-2)+(-2a+b+3)x-a+c+2
までは自分でも導けたのですが、何故商にあたる部分を(x+p)と書き表すのかがよく分かりません。

3年ぶりに数学の勉強を始めたのですが、当たり前のことが大分抜けていて結構ショックです＾＾；
もしよろしければ再度解説よろしくお願いします<(_ _)>

回答No.2

jo-zen

f(x)=x^3+ax^2+bx+c とおいたときに、（x+1)^2 で割ったあまりがx-1
ならば、f(x)=Q(x)(x+1)^2+(x-1) となることは理解できますか（Q(x)はなんらかのｘの多項式です）？
念の為、説明すれば　数字に置き換えてみれば直感的にわかっていただけるかと思いますが
　１３＝３*４＋１
ですから13を4で割った商は3で、余りが1となります。

f(x)は３次式ですから、この場合のQ(x)は１次式でなければなりませんし、また３次の係数が1ですのでQ(x)=x+A の形をとることになります。
ここまでわかれば、それを代入して、f(x)の右辺の式を計算し、２次の係数を比較してあげれば、商が何になるか分かると思います。
問題集は誤植というものもありますので気をつけてください。
がんばってね！

お礼

f(x)=Q(x)(x+1)^2+(x-1)となり、Q(x)がなんらかのｘの多項式になるというところまでは分かります。
しかし、そのｘの多項式が何故1次式であり、ｘ＋Aの形に必ずなるといえるのかが分かりません。
お時間があるときにまた解説していただければ嬉しいです。
ありがとうございました。

回答No.1

mgsinx

f(x)=x^3+ax^2+bx+cは(x+1)^2で割るとx-1余ることから、
x^3+ax^2+bx+c=Q(x)(x+1)^2+x-1・・・(1)と表せます。
ここでf(x)は3次式、(x+1)^2は2次式なので、Q(x)は1次式(px+qとおく)のはずです。
(px+q)(x+1)^2を展開した際、x^3の係数はpとなりますが、(1)よりp=1とわかります。
よって、Q(x)はx+qの形で表現できます。

質問内容ではQ(x)=x+aとなっていますが、このaはf(x)に含まれるaとは異なりますので注意してください。

わかりにくい点があれば再度お答えします。

お礼

回答ありがとうございます。
f(x)は3次式、(x+1)^2は2次式なので、Q(x)は1次式(px+qとおく)、というところがちょっと分かりません。3次式を2次式で割ると商は1次式になるというのはなんとなく分かるのですが、しっかり理解しておくべきでしょうか？それともそう覚えてしまった方がいいのでしょうか。それから、商を(px+q)とおく、というのがよく分かりません。
計算した結果、x^3+ax^2+bx+c=(x+1)^2(x+a-2)+(-2a+b+3)x-a+c+2という商を導き出したのですが、これを何故(px+q)とおけるのですか？
ｐには何が入り、ｑには何が入るのでしょうか？
もしよろしければまた教えてください。