整式の決定

質問

【問】f(x)=1+2x+3x^2+∫[-x…x]tf´(t)dt・・・・(*)を満たす整式f(x)を求めよ。

皆様なら問題文を読んでどういう解答を思いつきますか？
以下自分の解答と模範解答です。
(整式決定はやはり先に次数を決めるというのが一般的？)

[my answer]
(*)を微分して
f´(x)=2+6x+xf´(x)-xf´(-x)・・・(1)
また
f´(-x)=2-6x-xf´(-x)+xf´(x)・・・(2)
(1)(2)からf´(-x)を消去して
f´(x)=12x^2+6x+2
積分して
f(x)=∫(12x^2+6x+2)dx=4x^3+3x^2+2x+C　（Cは積分定数）
(*)からf(0)=1だからC=0
∴f(x)=4x^3+3x^2+2x+1

「模範解答」（かなり端折りました）
f(x)を奇数次の項a(x)と偶数次(0次も含めて)の項b(x)とにわけると
f(x)=a(x)+b(x)・・・・(1)
f(x)=1+2x+3x^2+2∫[0…x]tb´(t)dt（∵∫[-x…x]ta´(t)dt=0）
a(x)=2x+2∫[0…x]tb´(t)dt・・・(2)（∵∫[0…x]tb´(t)dtは奇数次）
b(x)=1+3x^2・・・(3)
(2)に(1)を代入して計算。→これと(1)(3)をあわせて
f(x)=4x^3+3x^2+2x+1

回答No.1

noname#108554 · ベストアンサー

「整式決定」と言う時点で有限次なのは確定しているので
やはり次数を求めておくと後々(解きはじめてから10分後とか)便利か・・・と。
しかし、現実的には整式だと分かっているときはそうそうないので
後々(今から10年後とか)の微分方程式/積分方程式を見据えれば
[my answer]的な解答でもいいか・・・と。

結論としてどうでもいいと思います。
解きやすいほうで。

お礼

ありがとうございました。

＞後々(解きはじめてから10分後とか)
＞後々(今から10年後とか)

なんかおもしろかったです。

補足

ありがとうございます。
ちょっと訂正でなぜか「C=0」と書いてしまっている。
C=1でしたね。

回答No.2

eatern27

＞皆様なら問題文を読んでどういう解答を思いつきますか？
私が思い付いたのは、[my answer]とほぼ同じ方法ですね。

(*)を見て、とりあえず、微分したくなって、
そのまま突っ走れば、解けてしまうので、別の方法を考えることすらしないと思います。

でも、この問題って、「模範解答」のようにすれば、微分しなくても、解けるんですね～。ちょっと感心しました。

お礼

どうもありがとうございました。
次数決定をする解法もあってなんかモット長ったらしかったのも乗ってました。

どもです。