整式の除法

質問

分からない問題があります。教えてください。

｛(x-4)(x+2)(x^2 -2x+2)｝^2をx^3+8で割った余りを求めなさい。

展開すればできるのですが・・・　お願いします。

回答No.3

Dr-Field · ベストアンサー

No.1です。

> 与式＝(x-4)^2×{Ａ-2(x+2)}^2
> ＝(x-4)^2{Ａ^2-4Ａ*(x+2)＋(x+2)^2}の部分ですが、

そうですね。間違えてました(^_^;)。もう一回再検討。

(x-4)^2×{(x^3+8)-2(x+2)}^2
ここで、x^3+8＝(x+2)(x^2-2x+4)＝Ａとおくと・・・
　　↓
与式＝(x-4)^2×{Ａ-2(x+2)}^2
＝(x-4)^2{Ａ^2-4Ａ*(x+2)＋4(x+2)^2}
以上より、与式をＡで割ると、余りは4(x-4)^2*(x+2)^2ではあるが、これはまだxの4次式なのでx^3+8でまだ割れる。
4(x-4)^2*(x+2)^2＝4(x+2)^2*(x^2-8x+16)＝4(x+2)^2*(x^2-2x+4-6x+12)＝4(x+2)*Ａ-24(x-2)(x+2)^2で、この式をＡで割ると余りは-24(x-2)(x+2)^2であるが、これもまだxの3次式なのでx^3+8でまだ割れる。
-24(x-2)(x+2)^2＝-24(x+2)(x^2-4)＝-24(x+2)(x^2-2x+4+2x-8)＝
-24(x+2)(x^2-2x+4)-24(x+2)(2x-8)＝-24Ａ-48(x+2)(x-4)となり、Ａで割った余りは-48(x+2)(x-4)、つまり-48x^2+96x+384である。

これで大丈夫だと思いますが・・・。ポイントは、x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)であるので、この項を作るように式変形するところでしょうか。

回答No.2

Dr-Field

まずはx^3+8を検討する。この式はx=-2の時にちょうど0になるので、x+2で割り切れる。具体的に計算するとx^3+8＝(x+2)(x^2-2x+4)である。

次に、{(x-4)(x+2)(x^2 -2x+2)}^2を検討する。

{(x-4)(x+2)(x^2 -2x+2)}^2＝
(x-4)^2×{(x+2)(x^2 -2x+2+2-2)}^2＝
(x-4)^2×{(x+2)(x^2 -2x+4-2)}^2＝
(x-4)^2×{(x+2)(x^2 -2x+4)-2(x+2)}^2＝
(x-4)^2×{(x^3+8)-2(x+2)}^2
ここで、x^3+8＝(x+2)(x^2-2x+4)＝Ａとおくと、
与式＝(x-4)^2×{Ａ-2(x+2)}^2
＝(x-4)^2{Ａ^2-4Ａ*(x+2)＋(x+2)^2}
以上より、与式をＡで割ると、余りは(x-4)^2*(x+2)^2ではあるが、これはまだxの4次式なのでx^3+8でまだ割れる。
(x-4)^2*(x+2)^2＝(x+2)^2*(x^2-8x+16)＝(x+2)^2*(x^2-2x+4-6x+12)＝(x+2)*Ａ-6(x-2)(x+2)^2で、この式をＡで割ると余りは-6(x-2)(x+2)^2であるが、これもまだxの3次式なのでx^3+8でまだ割れるので、再度検討する。
-6(x-2)(x+2)^2＝-6(x-2)(x^2+4x+4)＝-6(x^3+4x^2+4x-2x^2-8x-8)＝
-6(x^3+2x^2-4x-8)＝-6(x^3+8+2x^2-4x-16)＝-6(x^3+8)-6(2x^2-4x-16)

以上より、-12(x^2-2x-8)が余りとなる。

補足

与式＝(x-4)^2×{Ａ-2(x+2)}^2
＝(x-4)^2{Ａ^2-4Ａ*(x+2)＋(x+2)^2}の部分ですが、

与式＝(x-4)^2×{Ａ-2(x+2)}^2
＝(x-4)^2{Ａ^2-4Ａ*(x+2)＋4(x+2)^2}ではないですか？？

回答No.1

Tacosan

x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)