整式について

質問

整式について質問です。
整式f(x)があり、f(a)=0かつf'(a)=0であることと(x-a)＾2でf(x)が割り切れることは同値であることはどう証明したらよいでしょうか？

回答No.4

mister_moonlight

f（x）＝0が　x＝aを重解として持つなら、f（x）＝（x-a）＾2*g（x）と、置ける。但し、g（x）はxの整式。
f´（x）＝2*（x-a）*g（x）＋g´（x）*（x-a）＾2から、f（a）＝f´（a）＝0.
逆に、この関係があるとき、f（x）＝（x-a）＾2*h（x）+px+qと置くと、f´（x）＝（x-a）{2*h（x）+（x-a）*h´（x）}＋p
であるから、f（a）＝f´（a）＝0.　よって、p＝q＝0.
従って、f（x）＝（x-a）＾2*h（x）となり、f（x）＝0は　x＝aを重解として持つ。

回答No.3

Tacosan

f(x) が (x-a)^2 で割り切れれば f(a) = f'(a) = 0 は明らか.
逆は f(a) = f'(a) = 0 を仮定して f(x) を (x-a)^2 で割った余りが 0 になることを示す.

回答No.2

koko_u_

a = 0 の場合を証明すれば十分ですね。

回答No.1

arrysthmia

f(x) を、x=a 中心にテーラー展開すればよいでしょう。