積分について

質問

∫_0^∞ t^(-3/2) exp{-t^(-1)}dt
はどうすれば求めらますか（それとも求められないのでしょうか）。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

I=∫_0^∞ t^(-3/2) exp{-t^(-1)}dt

t=1/x^2 とおくと, dt=-2/x^3 dx
t: 0→∞ の時 x:∞→0

I=∫_∞^0 x^3 exp{-x^2} (-2/x^3) dx
=2 ∫_0^∞ exp{-x^2} dx
=√π erf(∞) (erf(x) :誤差関数)
=√π

お礼

ありがとうございます。ずっと原始関数を求めようとしていて全然うまくいきませんでした。
これが誤差関数を用いると積分の値が計算できるのは、どうしてわかる（どうして、t=1/x^2と置けばいいと気づく）のでしょうか。よろしければ教えてください。

回答No.2

info222_

No.1です。

ANo.1のお礼コメントの回答
誤差関数erf(x)や標準正規分布累積分布関数Φ(x)の積分形を知っているのであれば
被積分関数に exp(-ax^2) の関数形が含まれている事に気が付かないといけませんね。
誤差関数erf(x)の場合は 関数形がexp(-x^2)なので 変数変換: 1/t=x^2 を使います。
累積分布関数Φ(x)を使う場合は別の変数変換を使います。