積分（急いでます，焦ってます）

質問

∫{(t)^(-1/2)・exp(-kt)}dt
の積分がわかりません。部分積分をやってみたのですが，どうも上手くいきません。
あと，
　　　∫{erf(kt)^(1/2)}dt
の積分方法をしていたら教えてください。

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

それなら、
erf((kt)^(1/2))
と書いてください。

∫{erf√(kt)}dt = ∫2x*erf(x*√k)dx
(t=x^2と置換)

∫x*erf(x)dx = x^2*erf(x)/2 - 1/√π*∫x^2*exp(-x^2)dx
(部分積分）

∫x^2*exp(-x^2)dx = √π/4*erf(x) - x*exp(-x^2)/2
(xとx*exp(-x^2)にわけて部分積分)

とやっていくと積分できるようです。
mathematicaで積分してみました。
答えは、ちょっと複雑で書けないので、
下のURLを全部１行にしてコピペしてください。

http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?5$\sqrt{\frac{t}{\pi%20k}}e^{-kt}+\left(t-\frac{1}{2k}\right)\rm{erf}\left(\sqrt{kt}\right)+C

お礼

反応工学の問題なのですが，ほとんど数学なので，お手上げ状態でした。
本当にありがとうございました。

回答No.1

yaksa

∫{(t)^(-1/2)・exp(-kt)}dt
x=t^(1/2) と置けば
∫{(t)^(-1/2)・exp(-kt)}dt
=∫2exp(-kx^2)dx
=√(π/k)*erf(√kx) + C
=√(π/k)*erf(√(kt)) + C

∫{erf(kt)^(1/2)}dt
これは、{erf(kt)}^(1/2) ということですか。
おそらく解析的には積分できないと思います。

補足

∫{erf√(kt)}dt
ということなのですが。