大学の積分

質問

f(0)exp{-∫[0,∞]exp(-t^2)dt}を計算すると結果は以下のようになる様です。
f(0)exp(-(√π)/2)
どのように計算すればよいのでしょうか？途中の計算を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

有名な積分なんで「ガウス積分」とかでネット検索すれば、たくさんでてくるとは思いますが。

基本方針は、
G = ∫_[0,∞] exp(-x^2)dx
としたときに、
G^2 = ∫_[0,∞] exp(-x^2)dx * ∫_[0,∞] exp(-y^2)dy
　= ∫_[x≧0,y≧0] exp(-(x^2+y^2))dxdy
　= ∫_[r≧0,0≦θ≦π/2] r*exp(-r^2)drdθ
　= π/2∫_[0,∞]r*exp(-r^2)dr
　= …
て感じです。

お礼

rabbit_catさん、早速の回答ありがとうございます。確かにガウス積分の検索でひっかかってきました。有名な積分のようで恥ずかしい限りです。解答まで導けました。ありがとうございました。