微分積分回路について

質問

式の導出について質問です。
入力信号Vin=(2E/T)t-E/T 0≦t<T/2のとき
　　　　Vin=-(2E/T)t+3E/2 T/2≦t<Tのとき
　　　　（ここでTは周期、E/2は振幅を表す）

出力信号の回路方程式　dVout/dt+Vout/τ=dVin/dt
（Voutは出力信号、τはこの問題では関係ないので説明省略します）

であるときこの回路方程式を解けという問題です
初期値が0の場合は
　Vout=(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-t/τ）　0≦t＜T/2のとき
　Vout=-(2E/T)τ+(2E/T)τexp(-(t-T/2)/τ）　T/2≦ｔ＜Ｔのとき
となるようですがこれとは違う答えにならないといけないようです。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1～#3です。
A#2の補足について
>0≦t＜2/TのときVout=(2E/T)τ＋Cexp(-t/τ）とでました。
0≦t＜T/2

>そして初期値を0にするためt=0を代入するとCexp(-t/τ)はCとなり、
>初期値は0なのでC=-(2E/T)τに決定して最終的な答え
>Vout=(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-t/τ)・・・(1)がでました。

本来は原因があって結果が出て来るのであって、
t=0における初期値（原因）があって、その初期値と回路方程式からt≧0
の解を求めるのが筋ですが、t>0の回路方程式の解から過去のt=0の解である初期を求めていることになる。
初期値をゼロと与えて回路方程式を解くのが本来の解法です。
少し疑問が残るが、まあいいでしょう。

>なぜT/2遅延させ-2倍したものを(1)式に足すとT/2≦t＜TのVoutがでるのでしょうか？

回路方程式の右辺の
dVin/dt
を計算してそのグラフを描いてみて下さい。
そうすれば納得できると思います。
それでも分からなければまた補足質問して下さい。

>初期値の考え方によると(1)式にT/2を代入したものと(2)式にT/2を代入したものは同じになるのでしょうか？
ならなければ、あなたの(2)式の計算が間違っていることになります。

A#1で僕が書いたT/2≦t＜T
の(2)の元の式を見れば
>　Vout=(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-t/τ)
> -2{(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-(t-T/2)/τ)}
一行目は(1)式そのものですね。
二行目は、t=T/2とおくとexp()の項が1となるので、
　　　　　ゼロになることは明らかですね。
したがってt＝T/2とおけば一致していますよ。
(2)式が間違っていないかチェックしてみてください。
t=T/2で(1)式、(2)式は同じ値になるはずです。
→(2)の第二項が間違っている。。。

お礼

計算ミスもわかって、なぜ-2倍してT/2遅延させるのかも意味がわかりました。
しつこい質問に答えてくださってありがとうございます。
また、縁があったらよろしくお願いします。

回答No.3

info22

#1,#2です。
補足です。
A#1のT/2≦t＜Tの時の解の
>　Vout=(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-t/τ)
> -2{(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-(t-T/2)/τ)}
の式中の前半の
(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-t/τ)
の項は、
0≦t＜T/2によって発生するt=T/2における初期値Vout(T/2)
に由来する項になります。

回答No.2

info22

#1です。
初期値がゼロの場合の解答を書いてあげましたが、それについて考えたり、解いて見た結果やその結果について検証して、A#1の解答と一致することを確認しましたか？

まずそれをやってください。
そこでやった計算のプロセスや検証した結果を補足に書いて下さい。
そして分からないことがあれば、そこまでの計算を示して質問して下さい。
>ヒントもでていて、各領域の初期値は半周期前の最終値となるようです。
A#1の解答は↑このことは織り込み済みで T/2≦t＜Tの解答を出してあります。グラフを描いて見れば、0≦t＜T/2の時の最終値が、T/2≦t＜Tの初期値になっています。ちゃんと分かるように最終結果ではなく、その前の式で書いてやっています。
それで
>ちょっと、自分でも問題の意味がよくわからないのです
と理解できないのでは、解答を書いてやっても無駄ということですか？
（もしそうなら、過渡現象の回路方程式やその解き方を教科書の例題や演習書で復習しなおされた方がいいかも知れません。）

>それとは別に、問題がでていて、初期値を考慮して回路方程式を解け。
回路方程式といいながら回路図は無し、回路の素子や構成の情報なし、意味のある初期値が具体的に与えてない」といった状態で、どう解答を書けというのですか？
時間も0≦t＜Tについて言及があるだけで、t<0の回路情報や初期値情報が不明で、T≦tについても何も書かれていない、不思議な（不完全な）過渡現象問題になっています。
それゆえ、このケースについては回答しかねます。

補足

初期値0の場合でいろいろと考えてみましたがまだわからないことがあるので質問させてください。
まず自分は回路方程式を解くために定数変化法を使って
0≦t＜2/TのときVout=(2E/T)τ＋Cexp(-t/τ）とでました。
　　　　　　（Cは積分定数）
そして初期値を0にするためt=0を代入するとCexp(-t/τ)はCとなり、初期値は0なのでC=-(2E/T)τに決定して最終的な答え
Vout=(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-t/τ)・・・(1)がでました。

次にinfo22さんの仰った通り(1)式をT/2遅延させ-2倍したものを(1)式に足しました。
（ここでわからないことがあるのですが、なぜT/2遅延させ-2倍したものを(1)式に足すとT/2≦t＜TのVoutがでるのでしょうか？)
するとVout=-(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-T/τ）＋(4E/T)τexp(-(t-T/2)/τ）
・・・(2)となりました。
初期値の考え方によると(1)式にT/2を代入したものと(2)式にT/2を代入したものは同じになるのでしょうか？
そうだとすると自分の計算した式だと答えがあわないようです。
何か間違ってるようでしたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22

初期値が0の場合は
0≦t＜T/2のときは
>　Vout=(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-t/τ）　…(1)
で合っていますが、

T/2≦ｔ＜Ｔのときは
間違っていますので、(1)に「(1)をT/2だけ遅延させ、-2倍したものを加える」ことで正しい結果↓になります。
　Vout=(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-t/τ)
-2{(2E/T)τ-(2E/T)τexp(-(t-T/2)/τ)}
後は、式を整理するだけ。

補足

すみません、日本語がおかしかったようです。
初期値が0のときの式はテキストに書いてあったので正しいです。
それとは別に、問題がでていて、初期値を考慮して回路方程式を解け
（ただし初期値が0の場合の式とは異なる答えになる）
ということです。
ヒントもでていて、各領域の初期値は半周期前の最終値となるようです。
ちょっと、自分でも問題の意味がよくわからないのですがよろしくお願いします。
勘違いしていたらすみません。