積分曲線の問題です

質問

連立微分方程式
dx/dt = x + 3y
dy/dt = 3x + y
の一般解を求め、
x(0)=2
y(0)=-1 としたときのxy平面での軌道の概形を求めよ
という問題について教えて頂きたいです、

x,yの解は
x=(1/2)exp(4t) + (3/2)exp(-2t)
y=(1/2)exp(4t) - (3/2)exp(-2t)

というところまでは計算ができました
しかしこれで示される図形というのが分かりません
双曲線、楕円などの式に当てはめ、
tを消そうとしたのですが、うまくゆかないのです。

できればどこに着目して概形を求めるかと
いったところを重点的によろしくおねがいします

回答No.3

info22 · ベストアンサー

K=exp(2t)とおくと
x-y=3exp(-2t)=3/K
x+y=exp(4t)=K^2

グラフはKを消去して
(x+y)(x-y)^2＝9,x＞0
となる。しかし陰関数のため簡単にグラフがかけません。
そこでグラフの概形を調べる。
x=(1/2)exp(4t) + (3/2)exp(-2t)＞0
つまりグラフはy軸の右側に存在する。

t→∞のときK=exp(2t)→∞,δ(>0)→0
x=(1/2)exp(4t) + δ→∞
y=(1/2)exp(4t) - δ→∞
x-y=3/K→0　つまり　y=xが漸近線（グラフは下方）
漸近線の範囲 x+y=K^2＞0

t=0でK=1, (x,y)=(2,-1)

t→-∞のときK=exp(2t)(>0)→0,ε(>0)→0
x=(3/2)exp(-2t) + ε→∞
y=-(3/2)exp(-2t) - ε→-∞
x+y=K^2→0　つまり　y=-x が漸近線（グラフは上方）
漸近線の範囲　x-y=3/K＞0

お礼

座標変換の後のていねいな回答
ありがとうございました

回答No.4

info22

#3の補充です。
A#3から
(x+y)(x-y)^2＝9,x＞0
これに#2さんの提案の座標軸変換をして見ます。
xy軸を反時計方向に45度回転したXY座標系を考えると
(x,y)→(X,Y)の関係は
x=(X+Y)/√2, y=(X-Y)/√2
したがって
x+y=(√2)X, x-y=(√2)Y
XY座標系ではグラフは
(2√2)XY^2 =9
XY^2=(9√2)/4　（もちろんX>0,Y>0）
これはXとY^2の反比例のグラフですね？
（頭を時計方向に45度傾けて見たときのグラフですね。）
このグラフなら外形を描きやすいですね。

回答No.2

tatsumi01

x+y = exp(4t), x-y = 3exp(-2t) となります。
x+y, x-y は xy 平面で±45°の直線ですから、座標軸を45°傾けて、t をパラメータとして変化を考えれば良いのではないでしょうか。

お礼

なるほど、座標変換を考えるのですね。
ありがとうございました。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

概形なので・・・
dx/dt、dy/dtを求め、tに関してx、yの増減表を描きます。
dx/dt、dy/dtから dy/dxを求め、xに関してyの増減表を描きます。
（必要なら、dx/dt、dy/dtから dx/dyを求め、yに関してxの増減表を描きます。）