積分

質問

K'={k/(s-1)!}∫[E',∞]{(e/T)^(s-1)}exp{-(e/T)}(1/T)de

これを積分すると

K'=kexp{-(E'/T)}∑[r=0,s-1](1/r!){(E'/T)^r}

公式
∫[0,∞]{x^(s-1)}exp(-x)dx=(s-1)!

なぜ、
K'=kexp{-(E'/T)}∑[r=0,s-1](1/r!){(E'/T)^r}
となるのですか？
∑はどこからでてきたのですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

sを自然数とする
K'={k/(s-1)!}∫[E',∞]{(e/T)^(s-1)}exp{-(e/T)}(1/T)de
で
x=(e-E')/T
とすると
e/T=x+E'/T
dx=de/T
(Σは(x+E'/T)^(s-1)を2項展開する所から出てくる)
(x+E'/T)^(s-1)を2項展開すると
(x+E'/T)^(s-1)=Σ_{r=0,s-1}{(s-1)Cr}x^{s-1-r}{(E'/T)^r}
(s-1)Crは2項係数
(s-1)Cr=(s-1)!/{r!(s-1-r)!}
とする
Γ(s)=∫[0,∞]{x^(s-1)}exp{-x}dx=(s-1)!
だから
K'
={k/(s-1)!}∫[0,∞]{(x+E'/T)^(s-1)}exp{-(x+E'/T)}dx
={k/(s-1)!}∫[0,∞]{(x+E'/T)^(s-1)}exp{-x}exp{E'/T)}dx
=kexp{-E'/T}{1/(s-1)!}∫[0,∞]{(x+E'/T)^(s-1)}exp{-x}dx
=kexp{-E'/T}{1/(s-1)!}∫[0,∞][Σ_{r=0,s-1}{(s-1)Cr}x^{s-1-r}{(E'/T)^r}]exp{-x}dx
=kexp{-E'/T}{1/(s-1)!}Σ_{r=0,s-1}{(s-1)Cr}{(E'/T)^r}∫[0,∞]x^{s-1-r}exp{-x}dx
=kexp{-E'/T}{1/(s-1)!}Σ_{r=0,s-1}[(s-1)!/{r!(s-1-r)!}]{(E'/T)^r}(s-1-r)!
=kexp{-E'/T}Σ_{r=0,s-1}(1/r!){(E'/T)^r}

お礼

詳しい解説ありがとうございます。助かりました。