因数分解の問題

質問

中学生です。
「214^2-2×214×89+89^2-181^2-2×181×94-94^2を計算せよ」という問題ですが

=(214^2-2×214×89+89^2)-(181^2+2×181×94+94^2)
=(214-89)^2-(181+94)^2...(2)
=125^2-275^2
=(125+275)(125-275)
=400×(-150)
=-60000
何故このような途中式になるのかわかりません。
特に与式から(2)の部分です

回答No.2

mitoneko · ベストアンサー

きっと、数字の桁数に目がくらんでいるだけですよ。
　a=214, b=89, c=181, d=94
　と置いて、問題の式を書き直してみましょう。
　a^2-2ab+b^2-c^2-2cd-d^2
　=(a^2-2ab+b^2)-(c^2+2cd+d^2)
　素直に、置き直して、括弧でくくっただけですね。
　この括弧の中の式、見覚えがありませんか？
　(x+y)^2と(x-y)^2を展開するとどうなるか、教科書を見てみましょう。
　ここから、(2)の行に進みます。
　この変形は、わかるまで、じっと(x+y)^2の展開を眺めてください。
　=(a-b)^2-(c+d)^2
　ここで、もう一度、数字に戻します。すると、
　=(214-89)^2-(181+94)^2 になります。さらに、この括弧内を計算して
　=125^2-275^2
　ここで、もう一度、文字に置き換えます。
　e=125, f=275 として、
　=e^2-f^2
　さて、今度は、ここで、(x+y)(x-y)を展開するとどうなるんだったか、もう一度教科書を眺めましょう。
　=(e+f)(e-f)
　ここで、数字に戻して、
　=(125+275)(125-275)
　後は、素直に計算するだけ。
　数字の桁数に目がくらんだ時は、いったん文字に置き換えると、とたんに数式が見やすくなることがあります。特に、なんだか、同じ数字が多いなぁと感じるこんな式の時にはね。（いきなり、この問題が出てきた時には、「あら？同じ数字がたくさんある」と気がつくのがまず第一歩となります。）

数字が、公式の順番通りに並んでいるだけ、「とっても」親切な問題です。意地悪な先生なら、項の順番をシャッフルして出題してきますよ（苦笑）

　ちなみに、私は、あんまり、公式を覚えなさいと言うのは好きでは無いのですが、和（差）の２乗と、和と差の積、和（差）の積の展開くらいは、すらすらと出てこないと、正直、この後が厳しいですよ。

お礼

有難うございます(^^)
説明がとってもわかりやすかったので、ベストアンサーにさせていただきました。
文字に一旦置き換えるという方法は「なるほど!」と思いました。
ちなみに、もうすぐ中間考査なので頑張ります!

回答No.1

noname#222520

(a-b)^2
=(a-b)*(a-b)
=a^2-ab-ab+b^2
=a^2-2ab+b^2

(c+d)^2
=(c+d)*(c+d)
=c^2+cd+cd+d^2
=c^2+2cd+d^2

質問では、この逆の考え方をしています。
a=214、b=89、c=181、d=94です。

お礼

有難うございます!
単純に書かれてあるのでわかりやすいです。