因数分解～余りを求める問題です

質問

（１）からの誘導問題である（２）の解説で分らない部分がありました。

｛問題｝
（１）x＾４をx＾２ーx－１で割ったときの商と余りを求めよ。
（２）x＾８をx＾２ーx－１で割ったときのあまりを求めよ。

｛解説｝
（２）　（途中計算略）
x＾４＝（x＾２－x－１）（x＾２＋x＋２）＋３x＋２
この式の両辺を二乗して
x＾８＝（x＾２－x－１）＾２（x＾２＋x＋２）＾２＋２（x＾２－x－１）（x＾２＋x＋２）（３x＋２）＋（３x＋２）＾２
よって
x＾８をx＾２ーx－１で割ったときの余は（３x＋２）＾２をx＾２－x－１で割ったときの余りと等しい。

（３x＋２）＾２＝９x＾２＋１２x＋４
・・・・・
（以下略）

と書いてあったのですが、どうして「x＾８をx＾２ーx－１で割ったときの余は（３x＋２）＾２をx＾２－x－１で割ったときの余りと等しい。」ということが前の式からわかるのでしょうか？

見にくかったらごめんなさい；　　よろしくお願いします！=)

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回答No.2

ilnmfay · ベストアンサー

Tacosanの仰るとおり自明ですが、
xの式だから分かりにくいのですかね…

（３x＋２）＾２をx＾２－x－１で割った時の商がQ(x)、余りがR(x)とすると
（３x＋２）＾２=（x＾２－x－１）Q(x)+R(x)

x＾８＝（x＾２－x－１）＾２（x＾２＋x＋２）＾２＋２（x＾２－x－１）（x＾２＋x＋２）（３x＋２）＋（３x＋２）＾２　
　　 ＝（x＾２－x－１）＾２（x＾２＋x＋２）＾２＋２（x＾２－x－１）（x＾２＋x＋２）（３x＋２）+ Q(x)（x＾２－x－１）+ R(x)

ということで
（３x＋２）＾２をx＾２－x－１で割った時の余りR(x)と
ｘ^8をx＾２－x－１で割った時の余り（これもR(x)）は一致します。

これで分からなければ
例えば、数字で考えてみましょう。
19 ÷ ５ と 19^2 ÷ 5を考える。

19 = 3*5 + 4
19^2 = (3*5+4)(3*5+4)
= (3*5)^2 + 8*(3*5) + 4^2（※）
= (3*5)^2 + 8*(3*5) + 3*5 + 1 …余り１

※がポイントなのですが、
　(3*5)^2 + 8*(3*5)は5で割り切れるので余りは関係ないです。
　残った4^2 = 16を5で割った余りが19^2÷5の余りとなります。

こんな感じでいかがでしょうか。

お礼

ありがとうございました！とっても助かりました！

補足

初歩的な質問だったら、すみません。
掲示した問題からすると、19÷５の余りと１９＾２÷５の余りが等しくなるということですよね？19^2÷5の余りが１になることは分かったのですが、19÷5の余りが1になることがわかりません。

回答No.1

Tacosan

x＾８＝（x＾２－x－１）＾２（x＾２＋x＋２）＾２＋２（x＾２－x－１）（x＾２＋x＋２）（３x＋２）＋（３x＋２）＾２
を見ればほとんど自明だよね. 右辺のうち x^2-x-1 の倍数と「見た目ではわからない」ところって, どこ?