因数分解の問題（大学受験）
現在、「複素数と方程式」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは、大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。
問題は
x^2-xy-2y^2+ax-y+1が1次式の積に因数分解されるように、定数aの値を定めよ
です。
私はこの問題を
xについて整理し、x^2+(a-y)x-2y^2-y+1=0。
-2y^2-y+1を（y+1）（-2y+1）と因数分解し、(x+(y+1))(x+(-2y+1))=0
展開し、a=2
としました。
でも、解答は、他の解法で、a=2 だけでなくa=2,-5/2とありました。
本の解法は、xについて整理したあと、xについて解き、
「この２つの解をα、βとすると
（与式）＝（x-α）（x-β）
したがって、与式が一次式の積に因数分解できる条件は、
α、βがyの１次式であることである。
ゆえに、根号内の9y^2－2(a-2)y＋a^2－４が完全平方式であることが条件となる。
よって、yについての2次方程式9y^2－2(a-2)y＋a^2－４＝０
の判別式をDとすると、D=0
よって、a=2,-5/2」
とありました。
私は、わからない点が２つあり
一つ目はこの解法の「したがって～」からの三行で、どうして根号内が完全平方式でないといけないのでしょうか、たとえ根号内が完全平方式でなくルートが残っても、たとえば（x-√3y）（x-√5y）のように１次式の積に分解できると思います。
わからない点の二つ目は、最初の自分の方法ではどうしてa=-5/2という解が抜けてしまったのでしょうか。私の解法のどこに穴があったのでしょうか。条件でも見落としているところはないと思うのですが…。
私の勉強不足なのですが、質問する人がいないため困っています。
どなたかご存知の方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
