[解析力学] 間違いを教えてください 2

質問

解析力学を勉強中です。

正準変換のところで、母関数 W というのが出てきます。

教科書によると、
・Wから正準変換の変換式を求めることができる
・Wの条件は全微分可能であること
とのことです。

すると例えば 母関数 W＝C(定数) も全微分可能なので母関数の条件を満たすかと思いますが、このとき P＝Q＝0 になってしまうと思います。

だとすると正準変換の前後で面積が保存されなくなってしまいます。

どこか勘違いしていると思うのですが、自分では見つけられていません。
わかる方、ご指摘いただけると幸いです。

よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

#1さんへの補足です。

　全微分可能な「関数」とは、この前のイメージで言えばとりあえず、「拘束条件」のつかない自由な（？．←こんな数学用語はないですが）関数の事です。

　一変数でも良いのですが物理では、f(x)＝1は関数と言わない（関数関係がない）という伝統（？）があります。普通f(x)＝1は、xに関する「方程式」です（定数関数ってのがありますけどね(^^;)）。

　もっと一般に(p，q)を一般化運動量と一般化座標として、f(p，q)＝Cであれば自由ではない訳です。pとqを独立に変化させる事ができなくなりますから。

　仮想仕事の事を御存じだったので、ハミルトン方程式もpとqに関して独立な変分を取って、導きませんでしたか？。拘束条件のあるラグラジアンやハミルトニアンの解法の一般的な処方箋もあるのですけど、かなり難しいので、最初はやはりpとqは独立とする話が普通だと思います。

　「全微分可能」の意は、

　　W＝Atan(p，q)

のように多価関数になって、積分可能条件が成り立たないものは駄目よ、という意味です。#1さんの仰るように逆が不可だからです。ここでAtanは、アークタンジェントです。

お礼

早速のご回答ありがとうございました！

> 物理では、f(x)＝1は関数と言わない（関数関係がない）という伝統（？）があります。
ですっきりしました(^^)

> 拘束条件のあるラグラジアンやハミルトニアンの解法の一般的な処方箋もあるのですけど、かなり難しいので、最初はやはりpとqは独立とする話が普通だと思います。
も勉強になりました。

回答No.1

trytobe

『・Wから正準変換の変換式を求めることができる』

は、「正準変換して、逆変換で戻せる可逆性がある」という意味です。つまり、自由度（運動量を表現する変数の数とも言えますが）を減らす W＝定数 というものは、母関数としての２条件の下のほうしか満たしていないのです。

そんな自由度を減らす変換をしてしまうと、当然ながら『正準変換の前後で面積が保存されなくなってしまいます』。

お礼

早速のご回答ありがとうございました！
W＝定数は条件外なんですね。