重量増加速度の問題

質問

問）ある立方体の重量をw(t)としたとき、その増加速度が表面積に比例するとする。立方体の密度は常に一定。このとき、
１）w(t)の満たす常微分方程式をたてよ。ただし式中に未定の定数を一つだけ用いてよい。
２）(1)の常微分方程式を解いて、w(t)の解を求めよ
という問題なのですが、

w(t)=w(0)+w'(t)*t で、表面積をs(t)としたとき
w'(t)∝s(t)　となることまではいいとして、この場合何を未定の定数とすればよいのか分かりません。　w'(t)=ks(t)　などのようにすればよいのでしょうか？

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

w(t)=w(0)+w'(t)*t
では多分ダメ。これは変化が小さいときの近似ですね。
ポイントは「立方体」にあります。
立方体の辺の長さを，a(t) とすると，
　体積　v(t)=a(t)^3　　表面積　s(t)=6 a(t)^2
ですね。また，条件として密度一定。密度をρとすれば
　ρ=w(t)/v(t)=w(t)/(s(t)/6))^(3/2))=const.
　∴　s(t)=6(w(t)/ρ)^(2/3)
ただし，重量w(t)　は質量と読み変えました。
求める関係は，
　w'(t)=k s(t)
ですから，定数をα=6k ρ^(-2/3) とまとめて，
　w'(t)=α w(t)^(2/3)
となります。2)は大丈夫ですね？

お礼

なるほど、立方体で密度が一定であることを利用して表面積も重量の関数として表せるわけですね。
すると２）
w'(t)=α w(t)^(2/3)　より
dw(t)*{w(t)}^(-2/3)=αdt
積分して
{w(t)}^(1/3)*3=αt+C
w(0)^(1/3)*3=C
∴ w(t)=3^(-3)*{αt+3*w(0)^(1/3)}^3

となりました。これで多分あってますね
回答ありがとうございました。