応用解析IIIの問題です。

質問

（１）
a,b,cを正の定数として、平面x/a+y/b+z/c=1が各座標軸と交わる点を頂点とする三角形をＳとする。
この時、α、β、γを正の定数とする関数φ＝αx+βy+γzのＳ上における面積分を計算せよ。

（２）
原点（0,0,0）を中心とし、（x,y,0）平面上の半径aの円を低面積として高さｈの円柱の側面積をＳとする。この時、ベクトル場〈A(r)｜＝（2x,y,3z）のＳ上における面積分を計算せよ。

よろしくおねがいします。

回答No.1

muturajcp

(1)
a>0,b>0,c>0
x/a+y/b+z/c=1
z/c=1-x/a-y/b
z=c(1-x/a-y/b)
r=(x,y,z)=(x,y,c(1-x/a-y/b))
∂r/∂x=(1,0,-c/a)
∂r/∂y=(0,1,-c/b)
|∂r/∂x×∂r/∂y|=√{(c/a)^2+(c/b)^2+1}

Φ=αx+βy+γz
=αx+βy+γc(1-x/a-y/b)
=x(α-γc/a)+y(β-γc/b)+γc

z/c=1-x/a-y/b≧0
1-x/a-y/b≧0
0≦x≦a(1-y/b)

∫_{S}ΦdS
=∫_{0～b}∫_{0～a(1-y/b)}{x(α-γc/a)+y(β-γc/b)+γc}√{(c/a)^2+(c/b)^2+1}dxdy
=√{(c/a)^2+(c/b)^2+1}∫_{0～b}[x^2(α-γc/a)/2+x(y(β-γc/b)+γc)]_{0～a(1-y/b)}dy
=√{(c/a)^2+(c/b)^2+1}∫_{0～b}[{a(1-y/b)^2(aα-γc)/2+a(1-y/b)(y(β-γc/b)+γc)]dy
=√{(c/a)^2+(c/b)^2+1}∫_{0～b}{ay^2(aα-2bβ+γc)/(2b^2)+ay(-aα+bβ-γc)/b+a(aα+γc)/2}dy
=√{(c/a)^2+(c/b)^2+1}[ay^3(aα-2bβ+γc)/(6b^2)+ay^2(-aα+bβ-γc)/(2b)+ya(aα+γc)/2]_{0～b}
=ab[(aα-2bβ+γc)/6+(-aα+bβ-γc)/2+(aα+γc)/2]√{(c/a)^2+(c/b)^2+1}
=ab[(aα+bβ+γc)√{(c/a)^2+(c/b)^2+1}]/6
=[(aα+bβ+γc)√{(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2}]/6

(2)
A=(2x,y,3z)

x=acost
y=asint

r=(acost,asint,z)
∂r/∂t=(-asint,acost,0)
∂r/∂z=(0,0,1)
∂r/∂t×∂r/∂z=(acost,asint,0)
A=(2x,y,3z)=(2acost,asint,3z)

∫_{S}AdS
=∫_{0～h}∫_{0～2π}[(A,∂r/∂t×∂r/∂z)]dtdz
=∫_{0～h}∫_{0～2π}[2a^2(cost)^2+a^2(sint)^2]dtdz
=∫_{0～h}∫_{0～2π}[a^2{1+(cost)^2}]dtdz
=∫_{0～h}∫_{0～2π}[a^2{3+cos(2t)}/2]dtdz
=a^2∫_{0～h}[(3t/2)+{sin(2t)/4}]_{0～2π}dz
=a^2∫_{0～h}[(3π)]dz
=3πha^2