ランダウ力学、慣性の法則

質問

こんばんは。
今、解析力学を勉強するためにランダウ＝リフシッツの力学を読んでいて、悩んでも分からないところがあります。
超序盤なのですが、６ページのラグランジアンから慣性の法則を導きだすところで、

∂L/∂v = const. かつ ∂L/∂v　は速度だけの関数であるから
　v = const.

と展開されています。(vは本文ではボールドでベクトルです)
が、それが何故なのか分かりません。
速度だけの関数で、偏微分して定数なら、Lがvの一次の関数である。と結論付けられる気がするのですが、vが定数となるとは、謎です。
気づけば当たり前で簡単なことかもしれませんが、全然わかりません。
どなたかご教授お願いいたします！

回答No.1

chiezo2005 · ベストアンサー

d/dt(∂L/∂v) =0なので，∂L/∂v = const　つまり
∂L/∂v は時間的に変化しない。
Lはｖだけの関数であって，時間的に変化しなければｖは一定でなければならない。
つまり逆を言うと，
もしｖが一定でなくて変化した場合，∂L/∂v はvの関数なので必ず変化するはずですよね。
そうでないのでv=一定ということです。

簡単にL=a+bv+cv^2+・・・・
を考えると
∂L/∂v = b+2cv+・・・・
これが一定ということはｖは固定値でないといけなくなるのはわかりますよね・・・

お礼

そのあとよく考えたらわかりました。
微分する方のvはベクトルなので、
L=a+b|v|　としても、v=const. が導かれますね。
お手数をおかけしました。
ありがとうございました！

補足

ありがとうございます！
ほとんど分かりました。
ただ、一点、例示して下さったように
L=a+bv+cv^2+・・・・
と考えたときに、もし
L=a+bv
ならばvが一定でなくても　∂L/∂v　は時間変化しないのではないでしょうか？
質問文にLがvの一次の関数となるのでは？、と書いたのはそういうことです。

∂L/∂vが速度だけの関数である、と書かれているのはここまでの議論でLがvの絶対値にしか依存しないと示しているからだと思います。
ランダウは「ラグランジアンはvの絶対値、すなわちその２乗 v^2 だけの関数になる」と言っているのでLのvでの一階偏微分が速度だけの関数になるっぽい雰囲気を出していますが、別にLがvの一次関数ではいけない理由はないと思います。
(勿論最終的にL=T-Uになることは知っていますし、よく使いますが)