正準変換から母関数の導出

質問

下式で表される(q,p)→(Q,P)の正準変換
Q=qcos(ωt)+psin(ωt)
P=pcos(ωt)-psin(ωt)
（ただし、ωは定数。）
における母関数Wを求めよ。

という問題で、母関数はW(q,P,t)かW(p,Q,t)の
どちらかだと思うのですが、
W(q,P,t)→p=∂W/∂q, Q=∂W/∂P
W(p,Q,t)→P=-∂W/∂Q，q=-∂W/∂p
に代入してもWが定まりません。
なにか他の解法があるのでしょうか？

回答No.1

spinflip · ベストアンサー

ボゴリューボフ変換ですね。
まず、質問文の三行目は、P=pcos(ωt)-qsin(ωt) の間違いですよね。
母関数を最初の方W(q,P)だとすると、
p＝∂W(q,P)/∂qは偏微分方程式ですから、解は
　W＝∫pdq+h(P)
となります。但し、h(P)はPのみを含み、qを含まない任意関数です。ココがミソだと思います。
次に同様に、
Q＝∂W(q,P)/∂Pという偏微分方程式からは、
　W＝∫QdP+g(q)
と言う解が出ます。これも、g(q)は、qのみを含みPを含まない任意関数です。
次に、∫の中に入っているpやQを、与えられた正準変換の式を使って、母関数の変数である(q,P)で現してやり、実際に積分します。たとえば、Q＝[q+P・sinωt]/cosωtです。

そうして出てきた二つの式を見比べてやり、完全に同じ式になるように、h(P)とg(q)を決めてやるのです。

答えはPqの積をcosで割ったものとq^2+P^2に何かtanを
かけて定数をかけたようなものになると思います。

ボゴリューボフ変換は超伝導の解明にも使われた、正準変換の王様です。院試でしょうか？頑張って下さいね。

お礼

質問の変換は間違っていたのですね！
どうも母関数が求まらず、正準変換ではないのでは？
と思っていました。
この質問の変換のまま試験で出たのですが、
全く解けず、出来ませんでした。

Q=qcos(ωt)+psin(ωt)
P=-qsin(ωt)+pcos(ωt)
という変換はとても有名な変換なのですね。
とても参考になりました。
丁寧な回答どうもありがとうございました。

回答No.3

KENZOU

既にspinflopさんの処方箋で母関数を求められていると思いますが、お節介ながら余禄を。。。
求める母関数は次のようになりますね。
　W=(1/2)(q^2＋P^2)tanωt＋P・q／cosωt

お礼

なるほど、ボゴリューボフ変換の
母関数はそうなるのですね。
回答ありがとうございます！

回答No.2

spinflip

そうですか、すると、解析力学の定期試験ですか。

もし絶対にP=pcos(ωt)-psin(ωt) だとすると、
ポワッソンの括弧式が、[P,Q]＝[p,q]に
ならないので、正準変換ではありません。

まぁよくある、書き間違いですねぇ(先生の)。見逃してやってあげたら、、、つぅか、見逃してあげてください。きっと今ごろ先生も、ヘコんでると思います。それに当然、この問題は採点対象から外してくれると思いますし、、、。

お礼

そうです。解析力学の試験です。
やはり、正準変換ではありませんでしたか。
良い点で単位取得出来ないなら取りたくなかったので、
放棄してしまいました(>_<)
また来年頑張ります…(^^;