数学の素養のおありの方m(__)m 小4倍数判定

質問

【１１】の倍数の判定についてお教えくださいm(__)m。

小４の息子が　倍数・約数の学習をしております。
（√や平方数がらみもあるのが面白いらしいです）

【１１の倍数かの判定】に
『１の位から数えて奇数番目の数の和と、偶数番目の数の和の差が１１の倍数である。』
というのが使えるので　桁数の大きい数はそれを利用する様に書いてあるのですが、
そうなるとしか書かれていません。

『どうしてそれが成り立つのか教えて。』
と言うので　調べてみましたら

（５桁以下の場合だけ示すと）
0≦a,b,c,d,e≦9（整数）とするとき
10000e+1000d+100c+10b+a
=11(909e+91d+9c+b)+(a+c+e)-(b+d)
と表せることから、
10000e+1000d+100c+10b+aが１１で割り切れる
⇔(a+c+e)-(b+d)が１１で割り切れる

にたどり着いたのですが

10000e+1000d+100c+10b+a
=11(909e+91d+9c+b)+(a+c+e)-(b+d)
って・・・何故？？？？　と・・・理解できません。

1～１０までの倍数の判定は
【７】を除き説明してあげたのですが　【１１】がさっぱりで…頭を抱えております。

７も理解不能で…ええぃ！　力技でとにかく割る！！　みたいに諦めたのですが　
７を判定させる問題には出会ったことがないのですが【11】はよく出てくるのです。
息子は　(それなりにでも)納得しないと使えない。というタイプな子なもので・・・

『ママちんぷんかんぷんだわ～。』と式を見せたのですが
息子も
『11でまとめているのは分かるんだけど　なんなん？この変な数字は？！？！　どっからこんなの気がついたわけ？！　う～ん…1にしたいのは分かるんだけど・・・もっと桁が増えたら上の桁はどうなるのかな？　うわ…なんか気持ち悪いね…。計算するのも嫌だなぁ・・・。』
と・・・ポイッ…。.

分からないままですので
倍数判定の問題が絡むたびに　『ぐぁ～・・・なんか嫌なんだよねぇ～…。』とブツブツ文句を言い続けております・・・。

私共親子でも理解できます様　かみ砕いてお教え頂けますと有難いです。

宜しくお願いいたしますm(__)m。

回答No.3

tmpname · ベストアンサー

かなり長文になりますが、では『0に11ずつ足していった時、「奇数番目の数の和」と「偶数番目の数の和」がどう変化するか』を見てみましょう。

●まず、0に11を考えると、奇数番目の数の和、偶数番目の数の和『ともに1』となります。この時両者の差は0です。
●次に、11を足すと、結果22となりますが、奇数番目の数の和、偶数番目の数の和『ともに1ずつ増え』、両者の差は0のままです。
●以降99になるまで、奇数番目の数の和、偶数番目の数の和『ともに1ずつ増え』、両者の差は0のままです。

◎さて、次に11を足すと結果110になりますが、ここで何が起こっているか見てみます。
□まず、繰り上がりを一旦無視すると、99に11を足すと十の位が10、一の位が10で、さっきと同じように奇数番目の数の和、偶数番目の数の和は『ともに1ずつ増え』、両者の差は0のままです。
□ここで、まず、一の位を繰り上がらせます。つまり、今の状態だと十の位が11、一の位が0になる訳です。この時、一の位は『10減って』、十の位は『1増えて』いますね？
結果、奇数番目の数の和、偶数番目の数の和の差は『11変動する』（今の場合、11広がる）訳です。
□更に、十の位を百の位に繰り上がらせます。この時、十の位が『10減り』、百の位が『1増え』ます。結果、やはり奇数番目の数の和、偶数番目の数の和の差は『11変動します』（この場合、11差が縮まって0になりました）。

■さて、又11ずつ足して今度は198になるまで、奇数番目の数の和、偶数番目の数の和『ともに1ずつ増え』ていきます。
■次に11を足すと、一旦百の位、十の位、一の位がそれぞれ1, 10, 9になる訳ですが、ここで10の位が繰り上がって、『10減り』、百の位が『1増え』ます。結果、奇数番目の数の和、偶数番目の数の和の差は『11変動します』（この場合、差が広がる）（そして、結果209になります）。その後、11足すと、今度は一の位が繰り上がるので、一の位が10減り、十の位が1増え、結果差が11変動します（この場合、また縮まる）。

最後に、9999に11を足す場合を考えます。この場合、一旦千、百、十、一の位が9, 9, 10, 10になりますが、先ず一の位を繰り上がらせると、十の位が1増え、一の位が10減る。次に、十の位を繰り上がらせると、百の位が1増え、十の位が10減る、以下同様で、結果この場合奇数番目の数の和、偶数番目の数の和の差は11広がり11縮まり11広がり11縮まって、結果変動しません。

つまり、11ずつ足していくと、
◎繰り上がりがないときは、奇数番目の数の和、偶数番目の数の和は共に1ずつ増え、差は変化しない
◎繰り上がりがあるときは、1繰り上がる事に、奇数番目の数の和、偶数番目の数の和のどちらか一方が1増え、他方は10減るので、両者の差は11広がるか、11縮まるかどちらかする
ということになって、結果奇数番目の数の和、偶数番目の数の和の差は、つねに11の倍数になるのです。

同様に、9の倍数の判定法に、「9の倍数なら各桁の和も9の倍数になる」というのがありますが、これも繰り上がりが発生する毎に各桁の和が9減ることに気付けば理解できると思います。

お礼

わかりました～m(__)m！！　（ガッテン！ガッテン！ガッテン！）

息子にプリントアウトして読ませましたら
『そうだわ～。』と納得していました。
（↑理解できた時の口癖です。笑）

ご丁寧なご説明をありがとうございましたm(__)m。

回答No.2

smash27

>10000e+1000d+100c+10b+a
=11(909e+91d+9c+b)+(a+c+e)-(b+d)
って・・・何故？？？？

(a+c+e)-(b+d)が11の倍数であれば、全体も11の倍数ということを言いたくてこの式変形をしているわけですよね？

だから、とにかくその部分を括り出すべきなんです。そして、残りの部分はうまく11の倍数になってくれたらいいねというようにほっといて、後から確かめればいいのです。

証明なんて、結論ありきの式変形をすればいいので、それ以上の理屈は必要ありません。

間に一段階入れるとわかりやすくなるかもしれません。

10000e+1000d+100c+10b+a
=(a+c+e)-(b+d)+(9999e+1001d+99c+11b)
=(a+c+e)-(b+d)+11(909e+91d+9c+b)

お礼

ご回答ありがとうございました。

理解に至りましたm(__)m。

でも…(a+c+e)-(b+d)が11の倍数であれば、全体も11の倍数ということを言いたくてこの式に変形…というのも納得はできるのですが
数学音痴人間からしますと
だからって…よくこんな式を考えるなぁ…
なんだか…やっぱり（この数字＝909とか919とかが）気持ち悪い…　こんな感じが残っております。
（あ…やっぱり親子だな（苦笑）と思ってしまいました。）

有難うございましたm(__)m。

回答No.1

bran111

10000e+1000d+100c+10b+a
=11(909e+91d+9c+b)+(a+c+e)-(b+d)

『１の位から数えて奇数番目の数の和と、偶数番目の数の和の差が１１の倍数である。』

に従って１の位から数えて奇数番目の数の和(a+c+e)、偶数番目の数の和(b+d)の差(a+c+e)-(b+d)をまず作ります。その残りは

9999e+1001d+99c+11bということが解りますか。

当然というか面白いことにこれは係数がすべて11の倍数になっているので11をくくりだすと

9999e+1001d+99c+11b＝11(909e+91d+9c+b)

になったわけです。条件から(a+c+e)-(b+d)＝11f (fは整数)なので

10000e+1000d+100c+10b+a
=11(909e+91d+9c+b)+(a+c+e)-(b+d)＝11(909e+91d+9c+b)+11f

となり全体が１１で割り切れることが解ります。

何ケタの場合でも99..9と10..01が交互に現れ、同様に証明できるわけです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

２,4,5,6,8,10の倍数の判定は問題なく、
３と９に関しましても　例えば　[５７４８]でしたら、
５７４８＝５×(1000)＋７×(100)＋４×(10)＋８　なので
＝５×（９９９＋１）＋７(９９＋１)＋４×(９＋１)＋８
＝５×９９９＋７×９９＋４×９＋　６＋７＋４＋８　
〖５＋７＋４＋８＝２４　は各桁を３で割った余りの和〗になるので
その和が３で割れれば３で割り切れる事になる。９の場合も９＝3×３なので、少なくとも３で割り切れて、さらに各桁の和が９で割り切れれば９の倍数だと言える。
うま～く　（９＋１）,（９９＋１）,（９９９＋１）・・・と言いう様に　（３の倍数＋１）に分けれた事で　判別が簡単なのね！！　
みたいに理解＆納得できたのですが…

【11の倍数】の場合は、？！？！？！でしたので…ご回答を頂戴しましてからもPCとにらめっこを続けておりました。

が！！　う～ん…う～ん…と考え込んでおりましたら　『あれ？？』っと分かりかけた感じがいたしました。（判別できる理由は理解できたと思います。）

こんな風に考えました。
【11の倍数】も【３の倍数】などの判定と同様に各桁に注目して処理していきたい。だから・・・
10000e+1000d+100c+10b+a　の各桁を　
10000e＝(11×(ア))e,　1000d＝(11×(イ))d,　100＝(11×(ウ))c,　１０＝(11×(エ))b, の様に　【３の約数】の時と同じ様にしたいのだけれど…と思うのだけど、
10000÷11＝909.0909…　割り切れない・・・。
1000÷11も　100÷11も　10÷11も同様・・・。

なので　10000ではなく　その前後の10001か9999だと割り切れなかな…と考えたら　9999＝11×909　
1000ではなくその前後の1001か999で考えたら　1001＝11×91　
100ではなくその前後の101か99で考えたら　99＝11×９　だったので・・・
10000e+1000d+100c+10b+a
=11(909e+91d+9c+b)+(a+c+e)-(b+d)　とできる。

たまたま？！？！
あ～でも良かった。これで簡単に【11の倍数】を判別する方法がみつかりました・・・。

みたいな理解に至ったのですが…

まだ少し頭の中がしっくりしないと申しますか…
＞『当然というか面白いことにこれは係数がすべて11の倍数になっているので…』とご回答頂いております　その『当然というか…』の数の感覚が私には全くないもので（涙）
？！？！の感じがありますのと
＞『何ケタの場合でも99..9と10..01が交互に現れ、同様に証明できるわけです。』が…理解できないでおります。

書き出してみましたら
11×１＝１１
11×９＝９９
11×91＝1001
11×909＝9999
11×9091＝10001
11×90909＝99999
なのですが

私には規則性というのか…
あ…だったら次は✖✖ね…という数の感覚がないのです…。
ピンと来ないのです…。（何か規則？周期性？？みたいなものがある数になるのでしょうか？…）

数学音痴のこのあたりのズレズレ感を
数学がお出来になる方の感覚からご指摘頂く事はできませんでしょうか。（何がどう見えてないのかピンとこないのかもわからないもので…）

図々しくもうしわけございませんm(__)m。

でも！　【11】の倍数の判別ができる理由は理解に至る事ができております。ありがとうございましたm(__)m。