１１の倍数に関する問題について

質問

a,b,c,dを正の整数とする。

（１）　abcdが１１の倍数であるとき、a-b+c-dも１１の倍数であることを証明せよ。
（２）　2a3aが１１で割り切れるとき、aの値を求めよ。

　（１）はできました。おそらく
　　　abcd = 1000×a+100×b+10×c+d
　　　　　　= (11×91-1)×a+(11×9+1)×b+(11-1)×c+d
　　　　　　= 11×(91a+9b+c)-(a-b+c-d)
　　　abcdは１１の倍数であるから、第２項のa-b+c-dは１１の倍数でなければならない。

（２）がわかりません。（１）の結果を使うはずですが、うまく出せません。

　　2-a+3-a= 11k (k>0となる整数)　?。。この先が。。

宜しくお願いします。

回答No.4

wild_kit · ベストアンサー

５－２ａ＝１１ｋ（ｋは整数）
０＜＝ａ＜＝９：但しａは整数だから、２ａは偶数。
奇数－偶数＝奇数
つまりｋも奇数になる。
ａの取り得る値の範囲から、１１ｋの範囲も求まる。
－１３＜＝１１ｋ＜＝５
－１３／１１＜＝ｋ＜＝５／１１
ｋは整数だから、この範囲にあるのは－１と０。
但し先の条件（ｋは奇数）から、ｋ＝－１となる。

お礼

この回答が一番すっと頭に入っていきました。
ありがとうございました。

回答No.3

princelilac

(1) abcd が11の倍数ということは、11が素数なので、どれか最低1つが11です。
・・・と次からが続きません。問題のミスではないですか。

なぜabcd (a×b×c×d)が、1000×a+100×b+10×c+d　になるのですか。なぜ + の記号がつくのですか。

(2) 2a3a = 6a^2 =6k (k>0となる整数)
a=√(11k/6)
k= 6/11 の時 a=1 となる。・・・
つまり 「k>0となる整数」に反しますので、これも問題のミスだと思います。

お礼

各問題の文頭に「４桁の正の整数」という文言を入れ忘れていました。
問題うる覚えだったのでした。大変ご迷惑をおかけしました。
考えて頂きありがとうございました。

回答No.2

B-juggler

こんばんは～。

あ～なるほどねぇ・・・。

マイナスになるからおかしいと思っちゃうんだね。。

ｋ＞０　とした根拠は？

－１１　は　１１の倍数ではないかな？

　ａ＝８　だと思うけどね～～。

ちょっとついでに。

１００１　＝　７×１１×１３　（これは覚えておいて損はないと思います）

なので、　１２３×１００１＝１２３１２３　は７でも　１１でも　１３でも割り切れる。

１２３１２３＋１１＝１２３１３４＝１２３×１１×７×１３＋１１　になってるはずだね。

同じように、１３４１２３＝１２３×１１×７×１３　＋　１１０００　になってるはずだね。

１２３１３４　の上三桁　と下三桁と分けて、大きいほうから小さいほうを引いてみて。

１３４－１２３＝１１　１１の倍数だ。他の数字でも試してみて欲しい。

２２や９９、１２１なんか足してみて。

おなじく、大きいほうも同じ。

シェラヘザード数　（だっけかな）　という変わった数字です。

さっき、大きい数字から小さい数字を引く、といったけれど、

逆でもいい。　１２３－１３４＝－１１　だね。　これも１１の倍数だね。

この問題では、２０００＋　ａ×１００　＋３０＋　ａ＝Ｚ　としておこうか。

Ｚが１１で割り切れるには、　（ａ×１００　＋　３０　＋　ａ　－２）　が

１１で割り切れなければならない。　ａ＝８のとき　８３６＝１１×７６だよ。

ちょっとおまけつき。でした。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

１１の倍数は美しい性質をもっているのですね！
シェラヘザード数っていうんですか。
詳しい解説・例題ほんとにありがとうございました。

回答No.1

f272

aは一桁の正の整数なのだろうから、a=1からa=9まで5-2aが11の倍数になるかどうか確認すればどうかな？

お礼

なるほど！考えてみれば。。それが一番シンプルですね！
ありがとうございました！