最小公倍数と互いに素

質問

A、B、C・・・の最大公約数を(A、B、C・・・)最小公倍数を[A、B、C・・・]で表します。(例)(4165、6035)=85 [4165、6035]=295715　A、Bが互いに素 (A、B)=1
お願いします。分からないのは約数を持つか判定するところです。問題は、

0<a<b<cを満たす3個の整数a、b、cがある。次の関係を同時に満たすa、b、cを求めよ。
(1)a、b、cの最大公約数は45である。
(2)bとcの最大公約数は225、最小公倍数は1350である。
(3)aとbの最小公倍数は3150である。

解答　条件(1)より　a=45a'、b=45b'、c=45c'(a'、b'、c'は整数)・・・[1]とおくと、
(a'、b'、c')=1、 0<a'<b'<c'・・・[2]
条件(2)より(b、c)=45(b'、c')=225 ∴(b'、c')=5・・・[3]
[b、c]=45[b'、c']=1350 ∴[b'、c']=30・・・[4]
[3]よりb'=5b''、c'=5c''とおけば　(b''、c'')=1 ・・・[5]　で[4]より 5[b''、c'']=30 ∴
[b''、c'']=6・・・[6]
b<cよりb''<c''これと[5]、[6]より　b''=1、c''=6　または　b''=2、c''=3
(イ)b''=1、c''=6のとき　b=45*5*1=225、 c=45*5*6=1350　条件[3]より[a、b]=[45a'、225]=45[a'、5]=3150 ∴[a'、5]=70　70=2*5*7より　
a'は2、5、7のうち１つ以上の約数をもつ。・・・[7]
ここで条件[2]より0<a'<5、そしてa'が約数２をもつとすると、a'=2a''となる整数a''がある。0<a'<5に代入して、0<2a''<5 ∴0<a''<5/2より　a''=1または2　[a'、5]=70に代入すると、[2,5]=70または[4,5]=70となり矛盾。a'が約数２をもたない。
よって(a'、2)=1。　同様にしてa'=5a''のとき、0<5a''<5 ∴　0<a''<1　より　条件を満たす整数a''はないa'が約数5をもたない。　(a',5)=1。
最後にa'=7a''のとき、0<7a''<5 ∴　0<a''<5/7　より条件を満たす整数a''はない　a'が約数7をもたない。(a'、7)=1。 でもこれらa'は2、5、7を約数を持たないという結果
(a'はそれぞれの数と互いに素)は、[7]に矛盾します。またA、Bの最大公約数をG、最小公倍数をLとするとAB=GLからa'を求めると、[a'、5]=70、(a',5)=1より　5a'=70*1 より　a'=14=2*7　とa'は2、7を約数に持ち。途中の計算と矛盾します。また、このa'=14という数は問題の答えに不適なので、そのあたりが矛盾につながったのかもしれません。
どなたかこの矛盾点を解決し、a'は2と7を約数に持つことをしるしてください。お願いします。解答は続けて、このときa=45*14=630>225=bとなり不適。
(ロ)b''=2、c''=3のときb=45*5*2=450、c=45*5*3=675　条件[3]より[a、b]=[45a'、450]=45[a'、10]=3150 ∴[a'、10]=70　b"=2だからb'=5b"=5*2=10だからb'=10
0<a'<b'<c'…[2] から0<a'<b'=10だから0<a'<10。[a',10]=70だからa'は70=2*5*7の約数
a'=2a"となる整数a"があると仮定すると
0<2a"<10∴0<a"<5
[a',10]=[2a",10]=2[a",5]=70
35=[a",5]≦5a"<25
となって矛盾するから
(a',2)=1
a'=5a"となる整数a"があると仮定すると
0<5a"<10
0<a"<2
a"=1
a'=5
70=[a',10]=[5,10]=10
となって矛盾するから
(a',5)=1
{(a',2)=1}&{(a',5)=1}だから(a',10)=1∴a'=7
またb'=10、c'=15だからこれらは[2]の条件を満たしている。a=45*7=315
答え　a=315、b=450、c=675

回答No.1

staratras · ベストアンサー

この問題はa,b,cをそれぞれ3数の最大公約数の45で割ったa',b,'c'(a'<b'<c')
で最後まで考えたほうが計算が楽です。そうすると条件（2）と（3）は次のようになります。

(2)b'とc'の最大公約数は5、最小公倍数は30
(3)a'とb'の最小公倍数は70

(2)よりb'c'=5×30=150　であるから(注1）
a'<b'<c'を考慮し、これと(2）を満たす組み合わせは(b',c')=(5,30)(10,15)のいずれかである。

b'=5 のときa≦4で(3)を満たす整数はない。
b'=10 のときa'=7が(3)を満たし、このときc'=15

したがって(a',b',c')=(5,10,15)だから
(a,b,c)=(315,450,625)

(注1）2整数A,Bの最大公約数をG、最小公倍数をLとすると、AB=GLという性質があります。

ご質問の解法の趣旨を生かせば、（注1）以降を次のように変えます。
(2)よりb'=5b",c'=5c"とおくと　b'c'=25b"c"=150 よりb"c"=6
b"<c" を考慮すると(b",c")=(1,6)(2,3)のいずれかである。
b"=1のとき　b'=5となり、a≦4で(3)を満たす整数はない。
b"=2のとき　b'=10となり、a'=7が(3)を満たし、このときc'=15
このあとは上と同じ。

お礼

条件を満たす組み合わせを、地道に探す解法ありがとうございます。

回答No.3

jcpmutura

(イ)
a'が2と7を約数に持つかどうか以前に

∴[a',5]=70
ここで条件[2]より
0<a'<5
だから
各辺に5を掛けると
0<5a'<25
70=[a',5]≦5a'<25
となって不適とすべきです

[a',5]=70
と
0<a'<5
は
直接的に矛盾するのです

また
[a',5]=70
(a',5)=1より
5a'=70*1 より
a'=14=2*7
0<a'<5<14=a'
となっても不適となります

お礼

矛盾点をしめす証明はむずかしいですね。少ない仮定ですむように解答を考えるようにします。お返事ありがとうございます。

回答No.2

f272

> どなたかこの矛盾点を解決し、a'は2と7を約数に持つことをしるしてください。

まず最初に、こういうときは「...を持つことをしめしてください」と言いますが、しるしてくださいとは言いません。日本語を勉強してください。
さて本題ですが、矛盾点を解決することはできません。なぜならa'は2と7を約数には持たないからです。どんな推論をしようとも矛盾に行きあたります。

お礼

国語辞典で「しるす」と「しめす」の違いを調べるところから始めたいとおもいます。お返事ありがとうございます。