中学数学の問題です

質問

教えてください
約数の和が素数となる1桁の数の和はいくつですか？
よろしくお願いします

回答No.2

staratras

列挙するのが一番手っ取り早い方法ですが、あえて理屈をこねれば…。（一部中学校の数学の範囲を超えているかもしれません）またaのn乗をa^nと表記します。

3以上の素数はすべて不適です。なぜならば素数は「その数自身と1以外には約数を持たない」ので、約数の和は「その数自身+1」となりますが、3以上の素数はみな奇数なので、約数の和は4以上の偶数となり素数にはならないからです。

また素因数分解した際に、複数の素数の因数を持つ合成数も題意を満たしません。
なぜならばN=(p^a)×(q^b)と素因数分解できたとすると、Nの約数の総和は、(p^0+p^1+p^2+…+p^a)×(q^0+q^1+q^2+…+q^b)で求められます。これは「複数の素数の因数を持つ合成数の約数の和は合成数になる」ことを示していますので6=2×3は不適です。

したがって残る候補は1,2と、1種類の素数の何乗かの4(=2^2),8(=2^3),9(=3^2）です。このうち適するのは2と4と9だけです。2の約数は1と2なので1+2=3(素数）、4の約数の和は1+2+2^2=7(素数）、9の約数の和は1+3+3^2=13(素数）だからです。(1の約数は1だけなので和も1で素数ではなく、8の約数の和は1+2+2^2+2^3=15で素数ではありません）

答は2+4+9=15

回答No.1

muturajcp

2の約数は1,2だから約数の和
1+2=3
は素数
4の約数は1,2,4だから約数の和
1+2+4=7
は素数
9の約数は1,3,9だから約数の和
1+3+9=13
は素数
で
3の約数の和1+3=4は素数でない
5の約数の和1+5=6は素数でない
6の約数の和1+2+3+6=12は素数でない
7の約数の和1+7=8は素数でない
8の約数の和1+2+4+8=15は素数でない
から

約数の和が素数となる1桁の数は
2,4,9
だから
2+4+9=15