数学Ｂ 整数

質問

自然数a,b,c,dは c=4a+7b, d=3a+4b をみたしているものとする。

(1) c+3dが5の倍数ならば2a+bも5の倍数であることを示せ。

(2) aとbが互いに素で、cとdがどちらも素数pの倍数ならば、p=5であることを示せ。
　ただし、2つの自然数が互いに素とは、1以外の正の公約数をもたないことをいう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（千葉大）
　（２）がわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

eieitaro

(1)
c+3d=4a+7b+3(3a+4b)=13a+19b
=5(3a+4b)-(2a+b)
が5の倍数なので、(2a+b)も5で割り切れる。

(2)
c=pm
d=pn
とする。
c=4a+7b=pm
d=3a+4b=pn
2式を足すと
p(m+n)=7a+11b=5(a+2b)+2a+b

右辺の、5(a+2b)+2a+b は、pで割り切れる。
a+2bと2a+bがpで割り切れるとすると、k,tを自然数として、
a+2b=pk
2a+b=pt
と書ける。
この2式を足すと、
3a+3b=p(k+t)
a+b=p(k+t)/3
となり、pが3の時だけ、もしくは、k+tが3の倍数の時だけ成り立つ。
しかし、題意は素数は3の一つに決めていないし、k+tも3の倍数と制限しているわけでもない。
したがって、5(a+2b)+2a+b は、5で割り切れることが要求される。
よって、p=5
この時、2a+bも5の倍数になっている。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。