数学の証明…

質問

問題：各位の数字の和が３の倍数である整数は３の倍数である。
　　　このことを３桁の整数について証明せよ。

　　　ヒント：３桁の整数をＮとするとＮ=100a+10b+c(a b c は0から9までの整数、a≠0)とおける。

しっくりいくように書けません。
どなたか、お手本をお願いします<(_ _)>

回答No.3

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

m、nが整数の時、3mをn倍すると3mnであるから、３の倍数を整数倍した数も３の倍数になる。

m、nが整数の時、3m+3n=3(m+n)であるから、３の倍数と３の倍数を足し合わせた数も３の倍数になる。

３桁の整数をN、各位をa、b、cとした時N=100a+10b+cである。

各位の数字の和a+b+cは３の倍数である。

N=100a+10b+c=(1+99)a+(1+99)b+c=a+b+c+99a+9bとした時、99も9も３の倍数であるから、99a+9bは３の倍数である。

３の倍数a+b+cと３の倍数99a+9bを足したa+b+c+99a+9bも３の倍数であるからNは３の倍数である。

以上証明おわり。

100aをa+99aに置き換えるのがミソです。99aは間違いなく３の倍数です。

お礼

具体的に説明してくださりありがとうございます。
わかりやすかったです！

回答No.2

uckazuki

【証明】三桁の整数をNとすると
N＝100a+10b+c（a,b,cは０から９までの整数、a≠0）・・・（１）
（１）の式を変形し、
N＝99a+9b+a+b+c
N=3（33a+3b）+a+b+c・・・（２）
各位の和が３の倍数ということは
a+b+c＝3m (mは自然数)・・・（３）
と表せる。
（２）に（３）を代入して
N＝３(33a+3b)+3m=3(33a+3b+m)・・・（４）
（４）よりNは３で割り切れるので、３の倍数である。

こんな感じでどうでしょうか？少しわかりにくいかも知れませんが、合っているはずです。

お礼

回答ありがとうございます。
わかりやすかったです！

回答No.1

KEIS050162

与えられている式をそのまま変形していけばよいだけですよ。

与えられている式は、
N　＝　１００ａ　＋　１０ｂ　＋　ｃ

ここで各位の和が３の倍数なので、下記の様に表してみます。
ａ　＋　ｂ　＋　ｃ　＝　３ｋ　　（ｋは０以外の整数）

与えられている式を変形して、

Ｎ　＝　９９ａ　＋　９ｂ　＋　（ａ＋ｂ＋ｃ）　

　　＝　３（３３ａ　＋　３ｂ）　＋　３ｋ

　　＝　３（３３ａ　＋　３ｂ　＋　ｋ）

ａ，ｂ，ｋは０以外の整数と定義しているので、Ｎは整数の３倍、即ち３の倍数。

ご参考に。

お礼

回答ありがとうございます。
わかりやすかったです！