中学2年程度数学3ケタの自然数が3の倍数であることを証明する問題について

質問

【問題】
各位の数字の和が3の倍数である3桁の自然数があります。この自然数が３の倍数であることを証明しなさい。

<証明>
3桁の自然数を
　100a+10b+c …(1)
とおく。
条件「各位の数字の和が3の倍数」より
a+b+c=3n (nは自然数) …(2)
とおく。
(2)より
c=3n-a-b　…(3)
(1)のcに(3)を代入。
100a+10b+c=100a+10b+(3n-a-b)
　=100a-a+10b-b+3n
　=99a++9b+3n
　=3(33a+3b+n)
a,b,nは自然数より(33a+3b+n)は自然数である。
よって、
　3(33a+3b+n)
は、3の倍数である。
したがって、各位の数字の和が3の倍数である3桁の自然数は3の倍数である。
　終わり

とあるのですが、(3)でなぜ突然cイコールの形にするのかがいまいち腑に落ちません。
なんとなくそれは証明を進めるに当たってもちろんそうしなければならないからだという気はするのですが・・・
やはり証明は理由抜きで何度も繰り返し身体に解法を染みこませるしかないのでしょうか…

どなたかわたしのような愚者にも分かるような説明をしていただけるお優しい方おりましたら、回答お待ちしております。

回答No.5

Ishiwara

各ステップの理由を考えるのは、たいへん良いことです。「理屈ぬきで体に染み込むまで」は、お勧めしません。

解法はいろいろあります。
「ｃ＝」の式を作らなくても解けます。
しかし「連立方程式」を習った人にとっては、この方法が良い、と説明者が考えたのでしょう。
とにかく、いろいろな値をとり得る数が、a、b、cと３つもあります。連立方程式流に考えれば、１つでも少ないほうがラクです。そこで「ｃ＝」の式を作って他の式に代入してしまえば、ｃが消えてなくなります。あとはａとｂだけ相手にすればよいからです。

面白い方法の一つとして「１円９円玉法」があります。
１円玉、９円玉、９９円玉の貨幣だけを使います。
５１３円は
（９９＋１＋９９＋１＋９９＋１＋９９＋１＋９９＋１）円
（９＋１）円
（１＋１＋１）円
となります。３で割った余りだけを考えるなら、９円玉、９９円玉は、取り除いても同じはずです。
すると、残りは
（１＋１＋１＋１＋１）
（１）
（１＋１＋１）
ですから、余りは（５＋１＋３）の結果待ちとなります。
（もちろん「答案」では、もっともらしく式で説明するのですが）

このように、数学では「ひらめいた方法」を式で（さも偉そうに）説明することが多いのです。学習者は「式」から「意味」へと逆順にたどることを余儀なくされるので、次第に数学が、つまらなくて嫌いになりやすいのです。

回答No.4

bgm38489

a+b+c=3nより、
100a+10b+c=99a+9b+9c+a+b+c
=99a+9b+9c+3n
=3(33a+3b+3c+n)
とするほうが、わかりやすいと思います。証明の方法なんて、多種多様。

お礼

回答ありがとうございます。
以前此方で質問をした際にも、数学の答えは思ったよりたくさんあるということを教えていただいたことがありました。
自信の無さゆえすぐにパニックになってしまいがちですが、冷静に自分の解法を見極めていきたいと思います。

回答No.3

naozou

a=, b= でもとけますが、100を掛けたり、10を掛けなきゃいけないので計算が手間です。c=の形にしたのはそれだけの理由です。

お礼

解答者の意識が紙上以外で働いていたということなのでしょうか・・・
ひとまず理由がだいたいわかり、すっきりしました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

carvelo

#1の方のおっしゃっている通り、別にc=…の形にしなきゃいけないわけではないです。

ちなみに、この(3)の変形をする理由は私にもよくわかりません笑

こういうよく理由のわからない変形、というのは大抵、計算用紙とかに証明を進めていくうちに必要だとわかって、で、解答ではあらかじめ書いておいてしまえ（証明の式変形の途中で、「ここで…」みたいに挿入するよりも解答がすっきりすることが多いので）、という感じで書いてあるのだと思うのですが

100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)
=99a+9b+3n　　　（ここの式変形で(2)をそのまま使ってます）
=3(33a+3b+n)

のようにすれば、そもそも(2)の式を変形する必要はありません。

理由抜きで解法を染み込ませるのも一つの手かもしれないし、本当に基本的な解法だったらそれが必要なのかも知れません。ただし、全部暗記するのはほぼ不可能です。納得いくまでとことん突き詰めていく姿勢はこれからも大事にしてください。

お礼

理由の分からない変形はその人の数学力ゆえ、ということなのですね・・・
carvelo様が示してくださった解法では、平方完成のような(そこに都合の悪いものがあれば式を変形させてしまえという)感覚で処理をされたのでしょうか。
参考書についていた解法より数倍分かりやすく感じます。
すぐ悩んでしまう気性の為なかなか問題集が進まないのですが、地道に頑張ろうと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

soixante

１のような条件と２のような条件が分かったので、これらをつなぐために行っていることといえばよいでしょうか。

別に　c=　である必要性はなく、
b= でも、　a= でも求める形となります。

そういう意味で、なぜ、a でも　b でもなく、c= なのか、ということであれば、別にc=でなくてもよいです、という答えとなります。

＞やはり証明は理由抜きで何度も繰り返し身体に解法を染みこませるしかないのでしょうか…

このように腑に落ちないところはとことん追求するようにしたほうが、のちのち良いと思います。特に数学は。
どれだけでも追求しましょう。暗記だけの数学なんてつまらないですよ。

お礼

回答ありがとうございます。
既知の事象を繋ぎ合わせるためですか…
やはり日ごろの学習の積み重ねによる知識と問題演習の経験が大事になってくるのですね・・・
進路の都合で高校では数Iしか学ばないものですから、せめてそこまでの間は後悔しないように少しずつでも探求をしていきたいと思います。