数学の質問です。

質問

数学の質問です。
問題
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
a1=2,an+1=3an-2
写真が模範解答です。
黄緑のアンダーラインをひいたところって、なんで
-1にするんですか？

回答No.2

Donotrely · ベストアンサー

anの一般項を、等比数列で求める為です。

純に説明すると、まず、
an+1 ＋ X＝3(an ＋ X)
が
an+1＝3an － 2
と恒等的に等しくなるXを求めます。
こうするとan+1 ＋ Xは公比が3の等比数列ですよね

an+1 ＋ X＝3(an ＋ X)＝3an ＋ 3X
an+1＝3(an ＋ X)＝3an ＋ 2X

恒等的に等しくなるには、
2X＝-2
であれば良いから、これより
X＝-1

つまり
an+1＝3an － 2
は
an+1 －１＝3(an － 1)
に
変形できることになります。

すると(an － 1)は等比数列になり、一般項を求めることができます。

a1＝2ですから
(a1 － 1)＝1

従って

(an － 1)＝1×3^(n-1)
となり、
an＝1 ＋ 3^(n-1)

と、anの一般項も求めることができます。

回答No.3

info222_

添え字と数値を区別するために添え字は [ ] で囲んで表すことにします。
>a[1]=2,a[n+1]=3a[n]-2
このような２項漸化式は
(a[n+1]+p)=k(a[n]+p)
と変形して等比数列に置き換えるやり方が定石です。
式を変形すれば
a[n+1]=ka[n]+(k-1)p
したがって
k=3, (k-1)p=-2 ⇒ k=3, p=-1
となるので
(a[n+1]-1)=3(a[n]-1)
と「-1」が導出することができます。

回答No.1

bran111

a(n+1)=3a(n)-2
両辺から1を引くと
a(n+1)-1=3a(n)-3=3(a(n)-1)
よってb(n)=a(n)-1は等比級数になっているkとがわかりますか。
a(n+1)-1=3(a(n)-1)=3^2(a(n-1)-1)=...=3^n(a(1)-1)＝3^n
よって
a(n+1)=1+3^n
a(n)=1+3^(n-1)
となって一般項が求められます。

一番のポイントは何を引くか足せば等比級数になるかということです。
そのコツは
n→∞では
an+1=an＝α
が存在すると仮定すると
α＝3α-2
α＝1
という形で何を引いたらよいかが出ます。