数学の質問

質問

・(n+1)(n+a-2)/anが整数のとき、a(n+1)=(n+1)(n+a-2)/an
・(n+1)(n+a-2)/anが整数でないとき、a(n+1)=an+1

（※a(n+1)は数列のn+1番目という意味です）

によって定めるとき、次の各問いに答えよ。

（１）a≧３のとき、{an}は等差数列であることを示せ。
（２）a=2のとき、{an}の一般項を求めよ。

へるぷみーです（涙
解けないんです。

…無理なんです。

どなたか数学の得意な方、よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。
いずれの小問も「具体例からの推測」を考えることになります。
そして、推測したことを数学的帰納法を用いて正しいことを示します。

さらに確認になってしまいますが、「aは整数」という条件もありますよね？
以下は、その前提で。
また、数列：{ b[n] }を b[n]＝ (n+1)(n+a-1)/a[n]と表すことにします。

(1) a≧ 3のとき
問題文の中で、「等差数列」となる文言がありますよね。
そのことが常に成り立っていることを帰納法で示します。
帰納法を用いる際に「仮定」をしますが、その仮定が 1つだけでなく 2つになります。

n＝ kのとき
　b[k]は整数ではない。a[k+1]＝ a+ kと表される。

この仮定の下で、n＝ k+1の場合を考えます。
もちろん、n＝ 1のときに成り立っていることも、きちんと示さなければなりません。

(2) a＝ 2のとき
(1)で a≧ 3のときを考えているので、そのときとは違うことが起こるはずですね。
とりあえず、n＝ 4あたりまで具体的に値を求めてみてください。
ちょっと「飛ばして」見てあげると、ある規則性が見えてきます。

2つの数列が混ざり合っているので、ややこしいかもしれませんが、
複雑な計算は出てこないので落ち着いて解いてみてください。

お礼

きゃー解けました♪

すっきりです＾＾

ありがとうございましたっ

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。
初項の条件はないのですか？

補足

わー、すみませんっ（汗

初項はaです！