数学Bの問題

質問

数列に関する問題 下記の問題の解答と解説もお願いします

1. 数列 2,5,10,17,26,37,・・・ の一般項a(n)

2. 次の数列の一般項
(1) a₁ =3, a(n+1) =a(n)+4 (2) a₁ =3, a(n+1) =-4a(n)

3, 次の式で表されている数列{an｝の一般項
(1) a₁ =2, a(n+1) =5a(n)-4 (2) a₁=1, a(n+1) =3a(n)+4

4, nが自然数のとき、次の式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明
(1) 2+4+6+・・・2n= n(n+1)

回答No.1

jcpmutura

1
a(1)=2
a(2)=5
a(3)=10
a(4)=17
a(5)=26
a(6)=37
b(n)=a(n+1)-a(n)
とすると
b(1)=a(2)-a(1)=5-2=3
b(2)=a(3)-a(2)=10-5=5
b(3)=a(4)-a(3)=17-10=7
b(4)=a(5)-a(4)=26-17=9
b(5)=a(6)-a(5)=37-26=11
だから
b(k)=2k+1
a(n)=a(1)+Σ_{k=1～n-1}{a(k+1)-a(k)}
a(n)=a(1)+Σ_{k=1～n-1}b(k)
a(n)=2+Σ_{k=1～n-1}(2k+1)
a(n)=2+n-1+2Σ_{k=1～n-1}k
a(n)=1+n+n(n-1)
∴
a(n)=1+n^2

2
(1)
a(1)=3
a(n+1)=a(n)+4
a(n+1)-a(n)=4
a(n)=a(1)+Σ_{k=1～n-1}{a(k+1)-a(k)}
a(n)=3+4(n-1)
∴
a(n)=4n-1

(2)
a(1)=3
a(n+1)=-4a(n)
a(n)=a(1)Π_{k=1～n-1}a(k+1)/a(k)
∴
a(n)=3*(-4)^{n-1}

3
(1)
a(1)=2
a(n+1)=5a(n)-4
a(n+1)-1=5{a(n)-1}
となるから
b(n)=a(n)-1
とすると
b(1)=a(1)-1=2-1=1
b(n+1)=5b(n)
b(n)=b(1)Π_{k=1～n-1}b(k+1)/b(k)
b(n)=5^{n-1}
a(n)=1+b(n)
∴
a(n)=1+5^{n-1}

(2)
a(1)=1
a(n+1)=3a(n)+4
a(n+1)+2=3{a(n)+2}
だから
b(n)=a(n)+2
とすると
b(1)=a(1)+2=1+2=3
b(n+1)=3b(n)
b(n)=b(1)Π_{k=1～n-1}b(k+1)/b(k)
b(n)=3*3^{n-1}
b(n)=3^n
a(n)=b(n)-2
∴
a(n)=(3^n)-2

4
N=(全自然数)
P(n)=[Σ_{k=1～n}2k=n(n+1)]
とすると
P(1)=[2=1(1+1)]は真
あるn∈Nに対してP(n)が真と仮定すると
Σ_{k=1～n+1}2k
=n+1+Σ_{k=1～n}2k
↓Σ_{k=1～n}2k=n(n+1)だから
=n+1+n(n+1)
=(n+1)(n+2)
↓
P(n+1)=[Σ_{k=1～n+1}2k=(n+1)(n+2)]
も真だから
全てのn∈Nに対して
Σ_{k=1～n}2k=n(n+1)