- ベストアンサー
数列の一般項と等比数列に関する問題
- 数列の一般項や等比数列を求める問題には、特性方程式や漸化式がよく用いられます。この問題でも、数列の一般項を求める方法や等比数列の性質を活用して解くことができます。
- 問題では、数列の漸化式が与えられ、その漸化式を活用して別の数列を定義する誘導が行われています。その後、その数列が等比数列であることを示すという問題です。
- このような数列を考える理由は、たまたまうまくいくからではなく、数列の性質や関係性を探求するためです。数学の問題では、問題文や与えられた情報を活用して問題を解決する方法を探ります。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>どうしてこのような数列を考えたのでしょうか？ > >これはたまたま上手くいくからなのでしょうか？ ぶっちゃけた話「たまたま」だと思ってもかまいません． この手のものは 誘導がつくか，帰納法で処理するのが現実的です． たまたま思いつけば，直接処理すればいいのです． しかし・・・それなりに計算はあります． 漸化式というか数列ってのは， 隣り合う項との違いが重要なので， 階差をとるのが自然です． 階差を差分ということもあります ＃等比数列の場合は比をとりますが，対数を考えればこれも差です． ＃比よりもまずは差を考えるほうが現実的です． さて問題の数列 素直に階差をつくると，nが2以上だとかいう細かいことは後回しにして a_{n+1} = 2 a_n - 3n + 1 a_{n} = 2 a_{n-1} - 3(n-1) + 1 引き算して a_{n+1} - a_{n} = 2 (a_{n} - a_{n-1}) - 3 B_n = a_{n} - a_{n-1}とおけば B_{n+1} = 2 B_{n-1} - 3 これなら簡単にとけます． 注意しなければならないのは，nの最初の値です． 階差数列の式には条件がついてますのでそれに注意． 進展がなければこの方針でいけばいいのですが・・・ これだとnの条件の処理が面倒です． そこでこの新しい「階差数列の漸化式」がなぜ解けるのかと ことを考えると・・・3nが消えていることが原因です． だから，3nを消すことを考えます・・・・ となると a_nの係数が2ですので もともとの漸化式の両辺から 3n を引くといいのです a_{n+1} -3n = 2a_{n} - 3n +1 -3n a_{n+1} -3n = 2 (a_{n} - 3n) + 1 ここでよくみると 左辺が「3n」になってるのがうれしくないです． 3(n+1)であればいいですので，さらに3をひきましょう a_{n+1} - 3n -3 = 2 (a_{n} - 3n) - 2 a_{n+1} -3(n+1) = 2 (a_{n} - 3n) - 2 これで C_n = a_{n} - 3n とおけば C_{n+1} = 2 C_{n} - 2 ですから C_n の一般項がわかります a = 2a - 2 a = 2 を考慮して C_{n+1} - 2 = 2 (C_{n} - 2) ですので B_n = C_{n} -2 とおけば B_{n+1} = 2 B_{n} B_{n} = C_{n} -2 = a_{n} - 3n - 2 です． こういう計算を背後で処理して 問題の誘導が表にでてきているのでしょう． 以上の仕組みを逆手にとれば a_{n+1} = A a_{n} + Bn + C というタイプの漸化式は同様に以下のようにとけます． a_{n+1} - kB(n+1) = Aa_{n} + Bn + C -kB(n+1) = Aa_[n} -kABn + C -kB(n+1) + kABn = A(a_[n} - kBn) + (kA - k + 1)Bn - kB + C nの係数が0になるように k を決定すれば B_n = a_{n} - kBn とおくことで B_{n+1} = A B_n + (定数) の形の漸化式になって，これはふつうにとけます． 一般の a_{n+1} = A a_{n} + f(n) の形の場合は，当然 f(n) がどういうものかで変わってきますが， いろいろ考えてみると面白いかもしれません． f(n)がnの多項式くらいなら 解けるのかもしれません．
その他の回答 (2)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
a[n+1] = a[n]・c + f(n) というタイプの漸化式の場合、 初項は無視して、何かひとつ g(n+1) = g(n)・c + f(n) となる g( ) を見つければ、 辺々引き算して a[n+1] - g(n+1) = { a[n] - g(n) }・c となります。 g( ) を探す時点で、a[1] = g(1) である必要はありません。 a[n] - g(n) が等比数列と判って a[n] - g(n) = { a[1] - g(1) }・c^(n-1) と解けるので、 これに a[1] の値を代入すれば完了です。 このようなやりかたを、「特殊解を用いて非斉次漸化式を 斉次化する」と言います。 たまたまというか、ひらめきによって g( ) を発見しなくては ならないので、いつでも使えるとは限りませんが、 g( ) を思いついたときには、便利に使うことができます。 質問の誘導は、g(n) = 3n+2 が使えるよ …と教えているのです。
お礼
返事が遅れてすみません ありがとうございます。
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
Ａ(ｎ+1)=2Ａｎ-3ｎ+1 このような問題は、階差数列を求めて解くのが一般的です。 Ｂｎ=Ａ(ｎ+1)-Ａｎ と置けば、 Ｂ(ｎ+1)=Ａ(ｎ+2)-Ａ(ｎ+1) =2Ａ(ｎ+1)-3(ｎ+1)+1-(2Ａｎ-3ｎ+1) =2Ａ(ｎ+1)-2Ａｎ-3 =2Ｂｎ-3 さらに、 Ｃｎ=Ｂ(ｎ+1)-Ｂｎ と置けば、 Ｃ(ｎ+1)=Ｂ(ｎ+2)-Ｂ(ｎ+1) =2Ｂ(ｎ+1)-3-(2Ｂｎ-3) =2Ｂ(ｎ+1)-2Ｂｎ =2Ｃｎ これで等比数列になりました。 ＣｎをＡｎで表すと、 Ｃｎ=Ｂ(ｎ+1)-Ｂｎ =Ａ(ｎ+2)-Ａ(ｎ+1)-Ａ(ｎ+1)+Ａｎ =2Ａ(ｎ+1)-3(ｎ+1)+1-2Ａ(ｎ+1)+Ａｎ =Ａｎ-3ｎ-2 となって、質問の式が出てきます。
お礼
返事が遅れてすみません。 ありがとうございます
お礼
返事が遅れてすみません わかりやすかったです。 ありがとうございます。