数学B 数列

質問

a1=10, an+1=2an+2~n+2の条件にょって求められる数列（ａｎ）の一般項を求めよ。
解法教えてください。

回答No.4

breakfaster · ベストアンサー

一般に、漸化式の右辺のa_nの係数が1でなく、
さらに指数関数がくっついているタイプの解法です。
両辺を2^(n+1)で割ります。
a_(n+1) / 2^(n+1) = a_n / 2^n + 2
右辺の第1項は2を約分してあります。
そうすると、これはb_n=a_n / 2^nとおけば、
b_(n+1) = b_n + 2
となり普通の等差数列に帰着します。
初項b_1 = 10 / 2 = 5より
b_n = 2n + 3
よって、
a_n = 2^n b_n = (2n + 3) * 2^n
となります。

今回はa_nの係数が2、指数も2のn乗ということで等差数列になりましたが（約分できたので）、
そうでなくても、普通に解ける漸化式の形へ帰着させることができます。

お礼

回答ありがとうございます。
両辺を割るのですか。なるほどです。
ありがとうございます。

回答No.3

wiz77wiz

a(2)=2*a(1)+2^3=2^1*a(1)+1*2^3
a(3)=4*a(1)+2^5=2^2*a(1)+2*2^4
a(4)=8*a(1)+3*2^5=2^3*a(1)+3*2^5
a(5)=16*a(1)+2^8=2^4*a(1)+4*2^6
ここまででも推測可能
a(6)=32*a(1)+5*2^7=2^5*a(1)+5*2^7

以上から仮定する
a(n)=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^(n+1)=(2n+3)*2^n

お礼

回答ありがとうございます。
代入から規則性を見つけることができるのですね。
ありがとうございます。

回答No.2

bgm38489

文字の大小がはっきりしないので、（）をつけて表現してください。＊も省略しないように。~は＾の間違い？
a(n+1)=2*a(n)＋２＾ｎ＋２ということですか？それとも、２＾(ｎ＋２）？

補足

~は^の間違いです。
最後の部分は２＾(n＋2）です。
よろしければ教えてください。

回答No.1

asuncion

記号~の意味を書いてください。それから、
2~n+2
の部分が
(2~n)+2
なのか
2~(n+2)
なのかも、念のため書いてください。

補足

～は＾の間違いです。
２＾（n+2)です。
表記がうまくできずすみません。
よろしければ教えてください。